Bağçadaki kiçik bir tüzköşelik yer parçası içün 24 metr bordürimiz bar. Onı uzun ve tar ya da qısqaraq ve keñce yapmaq mümkün. Er eki vaziyette aynı miqdarda bordür qullanamız. İçerideki yer de aynı olacaqmı?
Yoq: 10 metrge 2 metrlik tüzköşelik 20 kvadrat metrni, 7 metrge 5 metrlik ise 35 kvadrat metrni çevreley. Bunı resim ve sade amellernen teşkerermiz. Amma mında yalnız cevap degil, başka şey de meraqlıdır. Bir misal matematikanıñ sualni qoymağa, model qurmağa ve neticege ne içün işanmaq mümkün olğanını añlatmağa nasıl yardım etkenini köstere.
Evvel angi meseleni çezgenimizni belgileyik
«Yer parçasını nasıl yahşı yerleştirmeli?» sualine türlü cevaplar ola bile. Keçit, işlemek qolaylığı ya da yolğa yaqınlıq müim ola bile. Evvel sualni daraltayıq: sınır uzunlığı aynı olğanda teklif etilgen tüzköşeliklerden angisi daa büyük meydan bere?
Tegiz bir yüzey ve tam bir tüzköşelik tasavur eteyik. Köşeleri kâğıt yaprağınıñ köşesi kibi tüz, qarşı tarafları teñ. Bütün bordür dört tarafnı çevreley; qapu, mania ve boşluq yoq. Material qalınlığını ve birleştirmeler içün masrafnı esapqa almaymız: planımızdaki sınır ince çiziq olur. Uzunlıqlarnı tam belli dep sayamız.
Bunlar bizim farazlarımız — cevap dayanğan şartlar. Olarnı şekilnen meydan arasındaki bağnı ayırmaq içün sayladıq. Bütün ölçüler uydurılğan; aqiqiy yer parçasında ölçenilmegen.
Miqdarlarğa, geometrik şekillerge ve aralarındaki bağlarğa keçüv vaziyetniñ matematik modelini yarata. Alınğan netice ilk sual içün manalı olğanını da teşkermek kerek. Modelleştirüvniñ bu parçaları SIAM ve COMAP-nıñ GAIMME qılavuzında, 1-ci bapta añlatılğan.
Sınır uzunlığı ve içerideki yer
10 metrge 2 metrlik tüzköşelikni çevrelep yürüyik. Dört tarafnıñ uzunlıqları qoşula: 10 + 2 + 10 + 2 = 24 metr. Şekil sınırınıñ umumiy uzunlığı perimetr dep adlandırıla. Bizim modelde tam bu qadar bordür kerek.
İçerideki yerni saymaq içün tarafı 1 metr olğan kvadratlarnı tasavur eteyik. Er biriniñ meydanı 1 kvadrat metr, qısqaca 1 m². Uzun tüzköşelikte on kvadrattan eki sıra yerleşe: 10 × 2 = 20 m². Çoğaltuv aynı sıralarnı saymanı qısqarta.
Endi taraflarnı 7 ve 5 metr alayıq. Sınır 7 + 5 + 7 + 5 = 24 metr, içeride ise yedi kvadrattan beş sıra bar: 7 × 5 = 35 m². Uzunlıq ve kvadrat ölçü arasındaki bu farqnı OpenStax, Prealgebra 2e, §9.4 añlata.
Resimlerniñ miqyası aynı. Tış çiziqnı da, közenek sayısını da teñeştir: olar ayrı suallerge cevap bere.
Aynı sınır, içeride başqa meydan
10 m × 2 mPerimetr: 24 mMeydan: 20 m²
7 m × 5 mPerimetr: 24 mMeydan: 35 m²
Ekinci çeşit 15 m² artıq bere, çünki 35 − 20 = 15. Endi neticeni eki usulnen teşkermek mümkün: közeneklerni saymaq ya da sıra sayısını er sıradaki kvadrat sayısına çoğaltmaq.
Mında çoğaltuvdan başqa ne matematik şey bar?
Çoğaltuv bir san berdi. Amma evvel eki ayrı miqdarnı körmek, şartlarnı saylamaq ve çeşitlerni nasıl teñeştirmege qarar bermek kerek edi. Soñ ise sayuv meydan aqqındaki sualge ne içün cevap bergenini añlatmaq lâzim oldı.
Matematika miqdarlarnı, şekillerni, quruluşlarnı ve qanuniyliklerni araştıra, olar aqqındaki iddialarğa esaslandırma qıdıra. Bu, saa ile tanışmaq içün faydalı bir yolköstergiç. Oña miqdarlarnıñ deñişüvi, malümatlar ve belgisizliknen işlev de kire. Meselâ, OECD PISA matematik çerçivesi miqdar, mekân ve şekil, deñişüv ve bağlar, belgisizlik ve malümatlarnı ayıra.
Sualler deral ameliy ihtiyactan tışqa da çıqa bile: belli quruluşnıñ angi hususiyetleri bar, berilgen qaidelerden angi iddialar çıqa? Böyle suallerni araştırmaq da matematikadır. Bordür meselesi bizge yalnız belli bir başlanğıç noqta bere.
Endi bir bağ körüne: sınır uzunlığı sabit qalğanda meydan deñişe bile. Başqa ölçülerni teşkermek içün bu bağnı qısqaraq yazmaq qolay.
Arifler işi qısqartqanda peyda ola
Eki qoñşı tarafnıñ uzunlığını a ve b, perimetrni P, meydannı S dep belgileyik. Taraflarnen perimetrni metrlerde, meydannı kvadrat metrlerde ölçeymiz. a ve b mında deñişkenlerdir: tüzköşeliklerni teñeştirgende türlü qıymetler saylay bilemiz.
Meselâ, keñce yer parçası içün a = 7 m, b = 5 m. Arif yañı bir amelni gizlemey — belli uzunlıq saylamadan taraf aqqında söz etmege imkân bere. Deñişkenlerniñ bu qullanılışı OpenStax, §2.1-de añlatılğan.
Dört taraf eki aynı çiftni bere. Bundan qısqa yazuv çıqa:
Qavs içinde evvel eki qoñşı tarafnı qoşamız. Soñ toplamını 2-ge çoğaltamız, çünki o çift eki kere tekrarlana. 7 ve 5 metrlik taraflar içün: 2 × (7 m + 5 m) = 2 × 12 m = 24 m.
Meydan içün yazuv daa qısqa:
Mında ab — a-nı b-ge çoğaltmaq demektir. Uzunlıqlarnı qoyamız: 7 m × 5 m = 35 m². Bu, evel yapqan kvadrat sıralarınıñ aynı sayuvıdır. Tüzköşelik formulaları OpenStax, §9.4-te berilgen.
= belgisi eki tarafta aynı qıymet yazılğanını bildire. Onıñ içün «7 + 5 = 12» ve «12 = 7 + 5» yazuvlarınıñ ekisi de doğru. Bizim meselede formula miqdarlar arasındaki bağnı qısqa tasvir ete.
Resim, cedvel ve formula aynı şeyni añlata
Perimetr 24 metr olsa, eki qoñşı tarafnıñ toplamı 12 metrdir: aynı çift qarşı tarafta tekrarlana. Demek, bir tarafnı saylap, ekincisine 12-ge qadar qalğannı almaq mümkün.
Bir qaç çeşitni teñeştireyik:
| a tarafı, m | b tarafı, m | P perimetri, m | S meydanı, m² |
|---|---|---|---|
| 10 | 2 | 24 | 20 |
| 8 | 4 | 24 | 32 |
| 7 | 5 | 24 | 35 |
| 6 | 6 | 24 | 36 |
7 ve 5 sırası ekinci resimge uyğun. 8 ve 4 içün sekiz kvadrattan dört sıra tasavur etmek ya da sanlarnı formulağa qoymaq mümkün: 8 × 4 = 32 m². Cedvel neticelerni tez teñeştirmege yardım ete; resim olarnıñ qaydan kelgenini köstere.
Bu çeşitlerde taraflarnıñ uzunlıqları bir-birine yaqınlaşa, meydan ise arta. Kösterilgen çeşitler arasında eñ büyük meydan 36 m². 6 metrge 6 metrlik kvadrat da tüzköşeliktir: bütün köşeleri tüz, qarşı tarafları teñ; qoşumça olaraq qoñşı tarafları da teñ.
Amma biz yalnız bir qaç ölçüni teşkerdik. Başqalarında yarım metr ya da daa kiçik parçalar ola bile. «Bu cedvelde eñ büyük ne?» ve «Bütün mümkün şekiller arasında eñ büyük ne?» suallerine ayrı esaslandırmalar kerek.
Misal qaçan yeterli, isbat qaçan kerek?
Cedvelde körülgen tertip bir faraziye, daa esaslandırmaq kerek olğan iddia teklif ete bile. Bütün izinli ölçüler içün isbat etmekke o vaziyetlerniñ episini qaplağan fikir yürütüv kerek. Yalnız yañı sıralar qoşmaq bunı öz başına bermey.
Bunı perimetr formulasınen teñeştireyik. Er tüzköşelikniñ qarşı tarafları teñ. Sınırnı çevrelep çıqmaq a + b + a + b bere. Eki aynı çiftni toplasaq, 2(a + b) alamız. Hususiy sanlar qoymağanımız içün bu fikir er türlü müsbet taraf uzunlıqlarında işley. Şekil hususiyetlerine dayanğan qısqa umumiy esaslandırma böyle körüne.
Misalniñ başqa faydası da bar. «Aynı perimetr er vaqıt aynı meydan bere» iddiasını bizim eki yer parçamız endi red etti: şart yerine kele, amma meydanlar başka. Böyle misal qarşı misal dep adlandırıla. «Er vaqıt» sözünü red etmek içün oña zıt kelgen tek vaziyet yeterli.
Umumiy isbatnen qarşı misal arkaly red etüv arasındaki farqnı Richard Hammack-niñ Book of Proof kitabı, §4.3 ve §9.1 añlata. İlk meselemiz içün teşkerilgen netice yeterli: 7 metrge 5 metrlik çeşit 10 metrge 2 metrlikten daa çoq yer çevreley. Bütün mümkün şekiller arasında eñ yahşısı aqqındaki neticeni mında isbatlamadıq.
Aqiqiy yer parçasında ne deñişir?
Tarafları tam 7 ve 5 metr olğan ideal tüzköşelikniñ meydanı tam 35 m². Amma «taqriben 7 metr» ölçüsi uzunlıqnı artıq tam belgilemey. Köşeler tüz olmasa, başqa geometrik model kerek. Bordürniñ qalınlığı belli olsa, bizim 7 ve 5 metrimiz iç kenardanmı, tış kenardanmı keçkenini açıqlamaq lâzim.
Berilgen şartlar içün esap doğru qaldı. Endi bu şartlar aqiqiy obyektke ne qadar uyğun olğanını teşkermek kerek. Onıñ içün GAIMME-niñ 12–13 ve 18-ci saifelerinde neticeni tahlil etüv ve farazlarnı qaytadan baquv modelleştirüvniñ parçaları olaraq berile.
Sualniñ özü de deñişe bile. Keçit kerek olsa, eñ büyük umumiy meydan daa çoq qullanışlı yer demek degil. Onı planğa qoşıp, elde qalğan meydannı ayrı esaplamaq mümkün. Böyle modelni aqiqaten bilmek istegenimizge köre keñletemiz.
Tam cevap şartlarınen beraber faydalı: «Tam 7 metrge 5 metrlik tüzköşelik dep farz etilgende 35 m²». Böyle yazuv neticeniñ küçüni de, qullanma sınırlarını da añlamağa imkân bere.
Aletler sualge köre saylanır
Bir mesele içinde bir qaç matematik alet qullandıq. Olar özara bağlı ve başqa vaziyetlerde de kerek ola bile.
| Saa | Angi suallerni qoymağa ve çezmege yardım ete? |
|---|---|
| Arifmetika | Epsi ne qadar, farq ne, aynı parçalar qaç tane? Sınırnı ve közeneklerni böyle saydıq. |
| Geometriya | Şekil nasıl, mesafeler ve meydanlar ne? Plan ya da haritanı mekânnen nasıl teñeştirmeli? |
| Algebra | Miqdarlar bağını nasıl yazmalı ve bilinmegenni nasıl tapmalı? Bir formula türlü ölçülerni tasvir etti. |
| Statistika ve ihtimallıq | Malümatlar neni köstere, ne qadar deñişe ve ne belgisiz qala? Meselâ, sistemanıñ neticelerini çoqlap vaziyetlerde nasıl degerlendirmeli? |
| Matematik analiz | Miqdarlar nasıl deñişe ve toplana? Meselâ, areket suratınen keçilgen yol nasıl bağlı? |
Bu, qısqa bir harita, saanıñ tam bölünişi degil. Programmalav ya da ilimdeki bazı meseleler bir qaç saanı beraber talap ete. Belli bir ilk meseleni sade ameller ve resimnen añlamaq mümkün; yañı aletlerge ihtiyac tuğulğanda olar kiritilir.
Nevbetteki meselege nasıl yanaşmalı?
Matematika bizni belgisiz «nasıl yahşı?» sualinden şartlı ve añlatılğan neticege ketirdi. İdeal tüzköşelik sayladıq, sınır uzunlığınen meydannı ayırdıq, eki çeşitni teşkerip cevap aldıq: aynı 24 metr bordürnen 7 metrge 5 metrlik şekil 10 metrge 2 metrlikten 15 m² artıq yer çevreley.
Soñraki sual içün şöyle başlamaq mümkün:
- Ne belli ve ne tapmaq isteyim? Miqdarlarnı ve olarnıñ birliklerini adlandırmaq.
- Neni müim dep sayacam? Farazlarnı ve modelni sadeleştirgen şeylerni köstermek.
- Angi tasvir yardım eter? Resim, cedvel ya da formula bir bağnıñ ayrı taraflarını aça bile.
- Netice ne içün şartlardan çıqa? Amellerni, birliklerni ve esaslandırmanı teşkerip, soñ ilk vaziyetke qaytmaq.
Kâğıtta 8 metrge 4 metrlik tüzköşelik sızıp baq; er közenekni 1 metrge 1 metrlik kvadrat dep al. Sayuvdan evel meydan 20 m²-den büyük olacaqmı dep tahmin et. Soñ teşker: sekizden dört sıra 32 m², 8 + 4 + 8 + 4 çevre yolu ise aynı 24 m bere. Resim, sayuv ve formula aynı ikâyeni añlatmalı.