Kesirli ve irratsional teñlemeler: cevapnı neden teşkermeli

Teñlemeni deñiştirgenden soñ çoq vaqıt azır cevap degil, namzetler alamız. Sayı başlanğıç paydanı sıfır yapa ya da kvadrattan soñ yanlış işaretke malik ola bile. Teşkerüv bizi başlanğıç sualğa qaytara.

Cebir kesirlerine, köklerge, sistemalarğa ve kvadrat teñlemelerge tayanamız. Aqiqiy sayılarda çalışamız.

Paydada meçul vaqıt

Birinci nasos baqnı 6 saatta toldura. Ekinci ile beraber 2 saatta bitireler. Sabit mustaqil aqımlar, sızuvsızlıq ve aynı start dep alamız. $x>0$ ekinci nasosnıñ yalñız vaqıtı saatlarda olsun. Öndüricilikler bere:

\frac16+\frac1x=\frac12.

Bu paydasında meçul olğan kesirli ratsional teñlemedir. Başlanğıç saa $x\ne0$ , fizikiy şart $x>0$ talap ete. Bu saada sıfır olmağan $6x$ -ke çarpamız: $x+6=3x$ , demek $x=3$ saat. $1/6+1/3=1/2$ teşkerüvi öndüricilikni, müsbet vaqıt ise cevapnıñ manasını tasdıqlay.

Qısqartuv çezim yoqluğını gizley bile

$\frac{x^2-1}{x-1}=2$ -ni baqayıq. Evvel $x\ne1$ . Qısqartqandan soñ $x+1=2$ , amma $x\ne1$ qala. Tek namzet 1 yasaqlı, demek başlanğıç teñlemeniñ çezimi yoq. Yerine qoyuv 2 degil, $0/0$ berir edi. OpenStax §2.2-de ratsional teñlemeler.

Kvadrat teñlemege kerek işaretni sile

İrratsional teñleme burada kök işareti altında deñişicisi olğan teñleme demektir. $\sqrt{x+2}=x$ -te radikal saası $x\ge-2$ . Amma sol taraf menfiy olmağanı içün teñlik daa $x\ge0$ talap ete.

Eki tarafnı kvadratqa kötersek, $x+2=x^2$ , yani $(x-2)(x+1)=0$ . İşaret şartısız bu kvadrat teñlemeni çezsek, 2 ve −1 alamız. 2 içün başlanğıç yazılış $\sqrt4=2$ ; −1 içün $\sqrt1=1\ne-1$ . Yalñız $x=2$ qala.

Başlanğıç teñleme

y = √(x + 2); y = x

Kvadrattan soñ

y = x + 2; y = x²

Namzet x	Teşkerüv √(x+2)=x	Qarar
−1	1 ≠ −1	Çıqar
2	2 = 2	Saqla

Tam eğri — sol taraf, üzük — sağ taraf. Evvel y=√(x+2) ve y=x yalñız (2,2)-de kesişe. Kvadrattan soñ y=x+2 ve y=x² daa (−1,1)-de kesişe. Bunlar başqa bağlılıqlar; olarnıñ y qıymetlerini ilk panelge keçirmek olmaz. Miqyaslar birdey adımlı, birimler şartlı.

−1 sayısı radikal saasında mümkündür, amma teñlemeniñ kökü degil. Bu kvadrattan soñ artıq namzet, yasaq kök astı qıymeti degil. Baştan $x\ge0$ saqlansa, $x+2=x^2$ -ge keçiş bu şartta teñküçlü; artıq namzet yerine qoyuvdan evvel çıqarıla. OpenStax §2.6-da radikal teñlemeler ve artıq kökler.

Deñiştirmeniñ mümkün qıymetleri ve qaytuvı bar

$x+\sqrt x-6=0$ -da saa $x\ge0$ . $t=\sqrt x$ desek, $t\ge0$ ve $x=t^2$ . $t^2+t-6=0$ , yani $(t-2)(t+3)=0$ çıqa. $t=-3$ arifmetik kök olalmaz, demek $t=2$ , $x=4$ . Teşkerüv: $4+2-6=0$ .

Eki $t$ -ni de alıp sade kvadratqa kötermek yanlış $x=9$ -nı qoşar edi. Başlanğıç teñlemede $9+3-6=6$ , sıfır degil. Yañı deñişici şartı eski deñişici şartı qadar mecburiydir.

Sızıqlı olmağan sistema: grafik öz sualine cevap bere

Ekinci panelni ayrı $y=x^2$ , $y=x+2$ sisteması dep oqumaq mümkün. Bir teñlemede deñişiciniñ kvadratı olğanı içün o sızıqlı degil. Birinciye $y=x+2$ qoysaq, $x^2=x+2$ , bundan $x=-1$ ya da 2. $y$ -ge qaytuv $(-1,1)$ ve $(2,4)$ çiftlerini bere. Ekisi de bu sistemanı qanaatlandıra.

Bunda −1 artıq degil: sistemanıñ aqiqaten eki kesişüvi bar. Amma o kvadratlar teñligini tasvir ete; başlanğıç $\sqrt{x+2}=x$ daa menfiy olmağan $x$ talap ete edi. Hangi teñleme ya da sistema sızılğanı açıq yazılsa, grafik teşkerüv faydalı. Tam koordinatlarnı eki şartqa da qoyuv tasdıqlay. OpenStax §11.3-te sızıqlı olmağan sistemalar.

Tarmaq · Tam cevapTeñküçlü keçişlernen bağlılıq.

Teşkerüv yoğalğan kökni qaytarmaz

$x(x-1)=0$ -nı $x$ -ke bölsek, yalñız 1 qala. Qoyuv onı tasdıqlar, amma çıqarılğan 0-nı tapmaz. Şunıñ içün evvel bütün aller ve şartlarnı saqlaymız, soñra artıq namzetlerni teşkerip çıqaramız. Namzetlerni teşkermek ve cevapnıñ tamlığını isbatlamaq — çezimniñ eki kerek qısmıdır.

Tapılğan sayılar tizmesi başlanğıç paydalarğa, işaretlerge ve deñişiciler bağlılığına qaytqandan soñ cevap ola. Er adımnı bir sual kontrol ete: kösterilgen saada yañı yazılıştan eskisine qaytmaq mümkünmi?