Ardışıq ve arifmetik progressiya

Sekiz aftalıq aq qoşuvnı tasavur eteyik: evvel 50 para birimi, soñ er defa 10 ziyade. Sekizinci qoşuv ne qadar ve umumiy ne qadar qoşulır? Bular eki başka sual: ardışıqnıñ ayrı üyesi ve üyeleriniñ summası.

Dereceler ve tekrarlanğan ameller ve funktsiyalar kerek. Bu şartlı arifmetik model: faiz, komissiya ve aq çıqaruv yoq; qaide sekiz afta içün berilgen.

Nomera — kiriş, üye — çıqış

Sayısal ardışıq — kirişleri natural nomeralar yaki olarnıñ başlanğıç soñlu kümesi olğan funktsiya. Mında 1-den başlaymız: $a_1=50$ , $a_2=60$ , $a_3=70$ . Aşağıdaki indeks nomeranı köstere, çarpma degil. Sıra mühim; tekrarlanğan qıymetler de mümkün.

Bizim saa $n\in\{1,2,\ldots,8\}$ . 2,5 nomeralı üye yoq: ardışıq er türlü aqiqiy müddetni degil, ayrı aftalarnı belgiley. Onıñ grafigi $(n,a_n)$ noqtalarıdır; olarnı kesiklernen birleştirmek şart degil.

Sabit farq progressiyanı belgiley

Arifmetik progressiya — qonşu üyeler arasında sabit farq olğan ardışıq: $a_{n+1}-a_n=d$ . Mında $d=10$ . Rekurrent qaide birinci üyeni ve adımnı bere:

a_1=50,\qquad a_{n+1}=a_n+10.

Adım $n=1,\ldots,7$ içün qullanıla. Başlanğıç qıymetsiz «10 qoş» qaidesi ardışıqnı belgilemey: 5-ten de, 500-den de başlamaq mümkün. Farq menfiy yaki sıfır ola bile; progressiya o zaman eksile yaki sabit qala. Tarif ve rekursiya, OpenStax §13.2.

Neden tam n−1?

Birinci üyeden ekincige bir adım, üçüncige eki, $n$ -incige $n-1$ . Demek açıq formula:

a_n=a_1+(n-1)d.

O er yol berilgen üyeni doğrudan bere. $a_8=50+7\cdot10=120$ . $50+8\cdot10$ yazuvı yañlışlıqnen sekiz adım qoşa ve uzatılğan qaideniñ toquzıncı üyesini bere. Nomeralav 0-dan başlansa, formula $a_n=a_0+nd$ ola: evvel indeks başlanğıcını teşkeriñiz.

Ayrı aftalarda qoşuvlar

Uçlardan çift	Summa
50 + 120	170
60 + 110	170
70 + 100	170
80 + 90	170

4 × 170 = 680

(1,50),…,(8,120) noqtalarınıñ nomeraları bütün; aradaki qıymetler berilmegen. Miqyaslar birdey adımlı. 170-lik dört çift 680 para birimi bere: qoşuvlar summası, sekizinci qoşuv degil.

Noqtalar $a_n=10n+40$ doğrusında yata, amma yalñız bütün nomeralar mümkün. Bir qaç ilk qıymet progressiyanı isbatlamay: 50,60,70-ten soñ 100 de ola bile. Sabit farq qaidenen berilmeli yaki er türlü yol berilgen nomera içün isbatlanmalı.

Doğru ve ters sıradan summa

$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ olsun. Aynı summanı ters sırada yazamız: $S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1$ . Eki yazuvnıñ uyğun yerlerini qoşqanda er defa $a_1+a_n$ alına, çünki

a_j+a_{n+1-j}=2a_1+(n-1)d.

Böyle qoşulanlar $n$ tane. Demek $2S_n=n(a_1+a_n)$ ve

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=\frac n2\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr).

Bu çıqaruv tek $n$ içün de işley: bir summanı bütün çiftlerge bölmey, eki tam yazuvnı qoşamız. Arifmetik summalar, OpenStax §13.4.

Sekiz afta içün $S_8=8(50+120)/2=680$ . Sızmada uçlardan çiftler 170 bere: 50+120, 60+110, 70+100, 80+90. Dört çift 680 bere. Sekiz qoşuvnı doğrudan toplamaq neticeni tasdıqlay.

Qoşuv ve toplanuvnıñ qaideleri başqa

Üçünci qoşuv $a_3=70$ , amma üçünci aftağa qadar summa $S_3=50+60+70=180$ . Bizim qaidede $S_n=5n^2+45n$ : qoşuvlar arifmetik progressiya olsa da, toplanuv nomerağa köre kvadrat. Umumiy olaraq $S_n-S_{n-1}=a_n$ , $d$ degil.

Evvel ne nomeralanğanını ve bir üye mi, summa mı aralğanını belgileñiz. O zaman $n-1$ adımlar sayısı, summa formulası ise qoşulanlarnıñ simmetriyasından çıqqan, qaytadan çıqarmaq mümkün olğan netice ola.