Hayaliy ustahane künlük kârını P(q) = − 10(q − 2)(q − 8) formulasınen tasvirley. q — 0-dan 10-ğa qadar bütün mahsulat sayısı, P — para birimlerinde kâr. Kâr ne vaqıt musbet? Yalñız 2 ve 8 zararsızlıq noqtalarını tapmaq yetmey: olarnıñ arasındaki aralıqlar kerek.
Çarpanlarğa ayırma, kvadrat teñlemeler ve teñsizlikler kerek. Uydurılğan model yalñız berilgen saada işley.
Aralıqta bir sınav sayısı neden yeterli
q − 2 çarpanı işaretini yalñız 2-de, q − 8 ise 8-de deñiştire. 2-niñ solunda ekisi menfiy, 2 ile 8 arasında işaretleri başqa, 8-niñ sağında ekisi musbet. Çarpım işaretleri musbet, menfiy, musbet. −10 çarpanı olarnı çevire: kâr 2 < q < 8 içün musbet, yani bütün 3,4,5,6,7 içün. q = 5 olğanda kâr 90, 2 ve 8-de sıfır.
Çarpan sıfırları ve paydanıñ yasaqlanğan qıymetleri doğrunı aralıqlarğa böle. Er aralıq içinde er çarpannıñ işareti sabit, demek çarpım yaki bölünmeniñ de sabit. Sınav sayısı işaretni belgiley; işaret deñişmeycegini özü isbatlamay. Bu, ifadeniñ qurulışından çıqa. Ratsional teñsizlikler, OpenStax §7.6.
Sıfır ile qutupnıñ rolleri başqa
Aqiqiy x içün çeziñiz:
((x − 1)^(2)(x + 2))/(x − 3) ≥ 0.
Evvel x ≠ 3. Paynıñ sıfırları −2 ve 1. 3-te payda sıfır, pay sıfır degil: bu qutup, qattiy olmağan teñsizlikte de çıqarıla. 1-de kvadrat çarpannıñ çift qatlılığı bar: eki yanında da musbet. İşaret anda deñişmey.
Bölünme işaretleri
R(x) = (x − 1)²(x + 2)/(x − 3)
| Aralıq | İşaret | R(x) ≥ 0 |
|---|---|---|
| (−∞, −2) | + | ✓ |
| (−2, 1) | − | — |
| (1, 3) | − | — |
| (3, ∞) | + | ✓ |
Noqtalar: R(−2) = 0; R(1) = 0; x ≠ 3.
Aralıq işaretleri + , − , − , +. ≥ 0 içün musbet aralıqlar ve yol berilgen sıfırlar alına:
( − ∞, − 2]∪{1}∪(3,∞).
Bir — ayrı turğan çezim: qonşu qıymetler menfiy, amma 1-de ifade sıfır. Qattiy > 0 olsa, −2 de, 1 de qoşulmaz edi. İşaretlerni kör-körüne sıra ile deñiştirmek bu hususiyetni qaçıra. Tek derece çarpannıñ sıfırından keçkende işaretni deñiştire, çift derece deñiştirmey. Kök qatlılığı, OpenStax §5.3.
Qısqartqandan soñ başlanğıç çıqarılğan noqtalar qala. Er yasaqlanğan noqta qutup degil: (x − 1)/(x − 1) ifadesinde 1-de ketere bilecek boşluq bar, amma 1-ni qoşmaq kene olmaz.
Dal · Köklü teñsizlikEvvel saa ve işaretler, soñ aralıqlar.
Ne vaqıt kvadratqa yükseltmek mümkün?
√(x + 2) > x içün x ≥ − 2. [ − 2,0) üzerinde sol taraf menfiy degil, sağ taraf menfiy; teñsizlik özü-özünden doğru. x ≥ 0 içün eki taraf da menfiy degil, kvadratqa yükseltüv teñquvetli: x + 2 > (x)^(2), yani (x − 2)(x + 1) < 0. Demek − 1 < x < 2; bu alnıñ şartınen 0 ≤ x < 2. Birleşme [ − 2,2). −2 ucu yaraşa: 0 > − 2; 2 yaramay, çünki 2 > 2 yañlış.
Üç ayrı malümatnı saqlañız: açıq aralıqlardaki işaretler, sıfırlardaki qıymetler ve paydanıñ yol berilmegen qıymetleri. Beraber olar tam cevap bere.