10+2sin(πt/3) şartlı signalı er altı saatlıq devirniñ qanday qısmında 11-den büyük? Teñsizlik yalñız kesişme noqtalarını degil, çember yayları ve vaqıt aralıqlarını seçe. Aralıqlar, sinusoida ve teñlemeler kerek.

10 + 2sin⁡(πt/3) > 11 ⟺ sin⁡θ > 1/2, θ = πt/3.

Birlik çemberde sinθ — yükseklik. y=1/2 doğrusı π/6 ve 5π/6-de kese; açıq yuqarı yay ondan yüksek. Köşeler radianlarda, k er türlü bütün sayı.

π/6 + 2πk < θ < 5π/6 + 2πk; 1/2 + 6k < t < 5/2 + 6k.

Açıq yay sinθ>1/2

x²+y²=1

-101-11xy

Bosağadan yüksek vaqıt

y=10+2sin(πt/3); -- y=11

03691281012t, saaty
π/6 ve 5π/6 arasındaki yuqarı yay uçlarsız, signalniñ renkli qısımlarına uyğun. Çemberde teñ miqyas ve radianlar; aşağıda saatlar, şartlı neticeler, birdey adımlı miqyaslar.

Bu er 6 saattan 2 saat, yani üçte bir. 0≤t≤12-de cevap (0,5;2,5)∪(6,5;8,5) saat. Bu üzülmez şartlı signal, datçik ölçevleri degil. ≥ olsa uçlar qoşulır; > içün anda 11-ge teñ ve çıqarıla. OpenStax

Üzülmeler de sınırdır

tan⁡θ > 1 ⟺ π/4 + πk < θ < π/2 + πk.

Sağ uç yalñız qattiy işaretten degil, π/2+πk-de tan yoqluğından çıqarıla. Bir dalda çezip, π devirnen tekrarlaymız.

Qoşma: şartlarnı kesiştirmek

sin⁡θ ≥ 1/2, cos⁡θ > 0 ⟺ π/6 + 2πk ≤ θ < π/2 + 2πk.

Başlanğıç ≥ sebebinden qoşula; soñ cosθ=0 sebebinden çıqarıla. Sistema «ve» demek: kesişme alıñız, birleşme degil.

Qoşma: ayrı qıymetli almaşma

2(sin⁡)^(2)θ − sin⁡θ − 1 ≥ 0; u = sin⁡θ ∈ [ − 1,1].

(2u + 1)(u − 1) ≥ 0 ⟺ u ∈ [ − 1, − 1/2]∪{1}.

Bir devirde:

θ ∈ [7π/6,11π/6]∪{π/2} (0 ≤ θ < 2π).

Eki qısımnı da 2π-nen tekrarlañız. Ayrı π/2 noqtası qattiy olmağan teñsizlikniñ aqiqiy çezimi. Köşeden vaqıtqa qaytmadan evvel saa, bir devir ve er uçnı teşkeriñiz.

Ters deñiştirme x=sin t radikalni sadeleştire bilir. −1≤x≤1-de −π/2≤t≤π/2 seçemiz: uyğunlıq birge-bir, cos t≥0, √(1−x²)=cos t. Onda √(1−x²)>x şunı bere: cos t>sin t, bu aralıqta t<π/4; cevap −1≤x<√2/2. Sol uç kire, sağ uç kirmez. Bu oblastlı ve keri keçişli deñiştirmedir; er yerde √(cos²t)=cos t yazmağa izin degil.