Masa üstündeki sergi içün Yer ve Aynıñ kiçik modellerini yapqanlar. Soñ Yerniñ yahşı körünmegenini tüşünip, onıñ diametrini eki qatına çıqarğanlar. Ay aynı qalğan. Er bir top ayrı-ayrı bir kök cismine oşay, amma çiftniñ ölçü nisbeti doğru qaldımı?
Yoq: endi Ay Yerge nisbeten eki kere kiçik oldı. Bütün modelni büyütip, ölçülerniñ nisbetini saqlamaq içün eki diametrni aynı sayınen çarpmalı. Tenasüp — eki nisbetniñ teñligidir. O, ölçüler deñişkende tam ne sabit qalması kerekligini aytmağa imkân bere. OpenStax: tenasüpniñ tarifi.
Tek eki sayını degil, belgili eki uzunlıqnı teneştireyik
Diametrlerni alayıq: küreniñ bir kenarından merkezinden keçip qarşı kenarına barğan uzunlıqlar. Yer ve Ay mükemmel küreler degil. Bu mesele içün olarnıñ orta acim radiuslarına uyğun kürelerni qullanacağıq. Bu, er bir cisimnen aynı acimge sahip küreniñ radiusıdır. NASA cedveli Yer içün 6 371,0 km, Ay içün 1 737,4 km bere. Radiuslarnı eki qatına çıqarsaq, diametrler 12 742 km ve 3 474,8 km olur. NASA: Ay ve Yerniñ teneştirilmesi.
Aynıñ diametri Yer diametriniñ qanday payını teşkil ete? Ay diametrini Yer diametrine böleyik. Netice taqriben 0,273, yani 27,3%. Bu teneştirüvde Ay Yerniñ çeyreginden biraz kenişçe. Bu — diametrlerniñ nisbeti; Aynıñ massası ya da acmi Yernikiniñ 27,3%-idir demek degil.
Sıra müim. «Ay / Yer» birden kiçik sayı bere. Yerlerini almaştırsaq, «Yer / Ay» taqriben 3,67 olur: Yerniñ diametri Aynıñ diametrinden taqriben 3,67 qat büyük.
Böyle nisbet içün eki uzunlıqnı aynı birimlerge çevirmeli. Kilometrni kilometrge ya da santimetrni santimetrge bölebilirsiniz. Aynı uzunlıqnı metrnen yazsaq, sayısal qıymeti biñ qat arta, amma cisim özü büyümey. Birimlerni uyğunlaştırmadan yalın sayılarnı teneştirmek bu mananı coyar. OpenStax: nisbetler ve birimler.
Ortaq çarpan ölçülerni deñiştire, nisbetni saqlay
İlk model içün bir santimetr 2 000 kilometrge uyğun kelsin. O vaqıt Yerniñ diametri taqriben 6,37 cm, Aynıñki 1,74 cm olur. Er bir kerçek uzunlıqnı aynı qaidege köre kiçikleştirdik.
Endi eki diametrni de eki qatına çıqarayıq. Taqriben 12,74 cm ve 3,47 cm elde etermiz; modelniñ bir santimetrine endi 1 000 km uyğun kele. Bütün çift içün başqa miqyas sayladıq. Ay / Yer nisbeti taqriben 0,273 olaraq qaldı, çünki pay ve payda aynı qat deñişti.
Şekilde ekinci ve üçünci çiftni teneştiriñ. Üçüncide Yer ekincideki qadar büyük, amma Ay birinciden qalğan. Böyle çift içün endi ortaq miqyas yoq.
Eki miqyas ve bir hata
Diametrlerni teneştiriñ. Ekinci çiftte eki disk eki qatına çıqarılğan; üçüncide tek Yer büyütülgen.
İlk model
Modelde 1 cm ↔ 2 000 km
- Yerniñ diametri
- 6,37 cm
- Aynıñ diametri
- 1,74 cm
- Ay / Yer
- ≈ 0,273
İlk nisbet
Eki diametr ×2
Modelde 1 cm ↔ 1 000 km
- Yerniñ diametri
- 12,74 cm
- Aynıñ diametri
- 3,47 cm
- Ay / Yer
- ≈ 0,273
Nisbet saqlanğan
Tek Yerniñ diametri ×2
Ortaq miqyas yoq
- Yerniñ diametri
- 12,74 cm
- Aynıñ diametri
- 1,74 cm
- Ay / Yer
- ≈ 0,136
Nisbet yarısına engen
Oqumaq oñay olsun dep yazılğan sayılar yuvarlaqlanğan, nisbetler ise ilk sayılardan esaplanğan. Tek yuvarlaqlanğan 1,74-ni 6,37-ge bölseñiz, soñki raqamlar biraz farq eter. Bu, modelniñ deñişmesi degil, yuvarlaqlama neticesidir.
Mında tek diametrlerni teneştiremiz. Diskler arasındaki boşluq Ayğa mesafeni köstermey. Mekân modelini qursaq, merkezler arasındaki mesafeni de aynı qaidege köre kiçikleştirmeli olur edik. Toplarnı keyfiy yaqınlaştırmaq bütün sistemanıñ miqyasını saqlamay.
Tarmaq · Formulalar ileİhtiyariy · keçip kete bilesiñiz
Çarpan nisbetten ne içün yoq ola
a — Ay modeliniñ diametri, b — Yer modeliniñ diametri, q > 0 ise ortaq büyütüv çarpanı olsun. Musbet diametrler içün:
(qa)/(qb) = (a)/(b).
q çarpanı qısqara. Bu teñlik bir tenasüptir: büyütken soñki nisbet evelki nisbetke teñ. Aynı uzunlıqnı qoşmaq başqa netice bere: 2/6 = 1/3, amma eki sayığa da 2 qoşsaq, 4/8 = 1/2 olur.
Yer modeliniñ diametri 10 cm olğanda Ay modeliniñ diametri d-ni tapayıq. Ay / Yer nisbeti saylanğan küreler içün aynı qalmalı:
(d)/(10 cm) = (3 474,8)/(12 742),; d = 10 cm × (3 474,8)/(12 742),; d ≈ 2,73 cm.
Sağdaki kesirniñ payı ve paydası kilometrnen alınğan diametrlerdir; kilometrler qısqardı. d neticesiniñ birimi santimetr, berilgen Yer diametriniki kibi. Evel nisbetni saqladıq, soñ ondan kerekli uzunlıqnı taptıq.
Doğru tenasüplik sabit şart talap ete
Bir miqyas çerçivesinde daa büyük kerçek uzunlıqqa er vaqıt aynı çarpan boyunca daa büyük model uzunlığı uyğun kele. Eki qat büyük uzunlıq eki qat büyük model uzunlığını, üç qat büyük uzunlıq üç qat büyügini bere. Böyle bağğa doğru tenasüplik derler.
Onı y = kx dep yazalar: x — kerçek uzunlıq, y — model uzunlığı, k ise sabit koeffitsiyent. İlk modelde x kilometrnen, y santimetrnen ifade etilse, k 0,0005 cm/km olur. Santimetr elde etmek içün kilometrnen alınğan er uzunlıqnı bu koeffitsiyentke çarpamız. Ekinci modelde başga k saylanğan, amma o da eki cisim içün ortaq. OpenStax: doğru tenasüplik.
«Eki büyüklük de arta» demek doğru tenasüplikni isbatlamay. Er diametrge eki santimetr qoşsaq, eki model de büyür, amma kiçik Ay nisbeten daa ziyade deñişir. Doğru tenasüplikte farq degil, nisbet sabit qalmalı.
Tarmaq · Sayılarnıñ tiliİhtiyariy · keçip kete bilesiñiz
Ne qadar qoşulğanı ve soñki qıymet ayrı şeylerdir
Topnıñ ilk diametri 6 cm olsun. 2 cm-ge arttırmaq eki santimetr qoşıp, 8 cm elde etmek demektir. 8 cm-ge yetkizmek soñki uzunlıqnı doğrudan-doğru bildire. Eki qatına çıqarmaq ise ekige çarpıp, 12 cm elde etmek demektir.
Faizler içün de ilk büyüklük belli olmalı. 6 cm-ni ilk qıymetiniñ 50%-i qadar arttırmaq 3 cm qoşıp, 9 cm elde etmek demektir. İlk qıymetiniñ 150%-ine yetkizmek de aynı 9 cm-ni bere. Amma ilk qıymetiniñ 50%-ine yetkizmek 3 cm demektir, yani kiçikleştirmek.
Şunıñ içün «200% arttı» degen ifadeni diqqatnen oqumalı. İlk qıymetniñ 200%-ini qoşmaq onıñ 300%-ini elde etmek, yani üç qatına çıqarmaq demektir. İlk qıymetniñ 200%-ine yetmek ise eki qatına çıqarmaqtır. Modelde sayınıñ yanında bir manalı amel de kerek.
Diametr eki qatına çıqa, meydan ve acim başka türlü deñişe
«Modelni eki qatına büyüttik» degende bunıñ er bir uyğun uzunlıqqa ait olğanını añlatmalı. Oşaş cisimlerde bütün uzunlıqlar aynı çarpan boyunca deñişe: diametr, radius, çember uzunlığı. Amma meydan eki uzunlıq ölçüsinden, acim ise üçünden ibaret.
Bunı kvadrat ve kubta körmek qolay. Tarafı 1 cm olğan kvadrat 1 cm² yer tuta. Tarafı 2 cm olğan kvadratta eki sıra bar, er sırada eki birim kvadratçıq — toplam 4 cm². Tarafı 2 cm olğan kubta ise er birinde dört birim kubçıq olğan eki qatlam bar — toplam 8 cm³. OpenStax: meydanlar, acimler ve geometriya esapları.
Küreler içün de aynı prinsip işley: diametr eki qatına çıqsa, bütün yüzeyniñ meydanı dört, acmi sekiz qatına çıqa. Bu, oşaş şekiller aqqında geometrik neticedir. O, kerçek planetanıñ tığızlığını, içki qurulışını ve başga fizikiy hususiyetlerini saqlap, onı sadece sozmaq mümkün demek degil.
Tarmaq · Formulalar ileİhtiyariy · keçip kete bilesiñiz
Dört ve sekiz çarpanları qaydan çıqa
Radiusı r olğan küreniñ bütün yüzey meydanı S = 4π(r)^(2), acmi ise V = (4)/(3)π(r)^(3). Yañı radiusnı (r)^(′) = qr dep belgileyik, mında q > 0. O vaqıt:
(S)^(′) = 4π(qr())^(2),; = (q)^(2)S,; (V)^(′) = (4)/(3)π(qr())^(3),; = (q)^(3)V.
q = 2 içün (q)^(2) = 4 ve (q)^(3) = 8 alamız. q = 1/2 olğanda uzunlıqlar yarısına, meydan ilk qıymetniñ çeyregine, acim sekizde birine ene. Ştrih mında yañı büyüklükni belgiley. Eki küreniñ şekli aynı, bütün uzunlıqları bir türlü deñiştirilgen.
Ne deñişkenini ve ne saqlanğanını teşkereyik
Doğru Yer–Ay çiftinde eki diametrni de üçke böldiler. Ay / Yer nisbeti üç kere kiçik olurmı? Yoq: o, taqriben 0,273 olaraq qalır. Eki uzunlıq ve ortaq miqyas deñişir, amma ortaq çarpan nisbetten qısqarır.
Ya tek Aynıñ diametrini eki qatına çıqarıp, Yerni aynı qaldırsaq? Nisbet taqriben 0,545-ke çıqar. Böyle çift artıq saylanğan kerçek diametrlerniñ nisbetini saqlamay. Teşkerüv içün kesirniñ üstünde ve altında ne turğanını, angi büyüklük deñişkenini aytmaq yeterli.
Öz şekliñiz içün diametri 10 cm olğan Yer diski ve taqriben 2,73 cm olğan Ay diski alıñ. Soñ eki uzunlığı da yarısına engen kopiyanı köz ögüne ketiriñ. İlk yuvarlaqlanmağan nisbetni qullansaq, doğru cevap — 5 cm ve taqriben 1,36 cm; 5 cm ve deñişmegen 2,73 cm degil. Yuvarlaqlanğan 2,73 cm-ni ekige bölmek neticeniñ soñki raqamını deñiştirebilir. Diskler arasındaki boşluqnı qolaylıq içün saylaybilirsiniz, amma böyle şekil tek cisimlerniñ ölçülerini kösterir, aralarındaki mesafeni miqyasta köstermez.
Tenasüp belgili nisbetni saqlamağa yardım ete. Esaplamadan evel büyüklüklerni adlandırıñ, birimlerni uyğunlaştırıñ ve ne sabit qalğanını qararlaştırıñ. O vaqıt büyütüv sayılarnı keyfiy deñiştirmek degil, modelniñ añlaşılır deñişmesi olur. Kursnıñ soñraki dersinde sayı kvadratı fizikada ne içün sıq rastkelgenini baqarmız.