Що таке пропорція і як працює масштаб?

Для настільної виставки зробили маленькі моделі Землі й Місяця. Потім вирішили, що Землю погано видно, і подвоїли її діаметр. Місяць залишили таким самим. Кожна кулька окремо схожа на небесне тіло, але чи збереглася правильна пара?

Ні: тепер Місяць став удвічі меншим відносно Землі. Щоб збільшити всю модель і зберегти співвідношення розмірів, потрібно помножити обидва діаметри на одне й те саме число. Пропорція — це рівність двох відношень. Вона дозволяє точно сказати, що саме має залишитися незмінним, коли самі розміри змінюються. OpenStax: означення пропорції.

Порівнюємо не дві цифри, а дві визначені довжини

Візьмемо діаметри — довжини від одного краю сфери до протилежного через центр. Земля й Місяць не є ідеальними сферами, тож для цієї задачі домовимося використовувати сфери з їхніми середніми об’ємними радіусами. Це радіуси сфер того самого об’єму, що й відповідні тіла. Таблиця NASA дає 6 371,0 км для Землі та 1 737,4 км для Місяця. Подвоєння радіуса дає діаметри 12 742 км і 3 474,8 км. NASA: порівняння Місяця й Землі.

Тепер запитаймо: яку частку земного діаметра становить місячний? Поділимо діаметр Місяця на діаметр Землі. Отримаємо приблизно 0,273, тобто 27,3%. Місяць трохи ширший за чверть Землі в такому порівнянні. Це відношення діаметрів; воно не означає, що Місяць має 27,3% земної маси чи об’єму.

Порядок має значення. «Місяць / Земля» дає число менше одиниці. Якщо поміняти їх місцями, «Земля / Місяць» дасть близько 3,67: земний діаметр приблизно в 3,67 раза більший за місячний.

Для такого відношення обидві довжини треба подати в однакових одиницях. Можна поділити кілометри на кілометри або сантиметри на сантиметри. Якщо одну й ту саму довжину записати в метрах, її число стане в тисячу разів більшим, але саме тіло не виросте. Порівняння голих чисел без узгодження одиниць загубило б цей зміст. OpenStax: відношення й одиниці.

Спільний множник змінює розміри, але зберігає відношення

Для першої моделі нехай один сантиметр відповідає 2 000 кілометрів. Тоді земний діаметр становитиме приблизно 6,37 см, а місячний — 1,74 см. Кожну реальну довжину ми зменшили за тим самим правилом.

Зробімо обидва діаметри вдвічі більшими. Тепер маємо приблизно 12,74 см і 3,47 см, а одному сантиметру моделі відповідає вже 1 000 км. Ми вибрали інший масштаб для всієї пари. Відношення Місяць / Земля залишилося приблизно 0,273, бо чисельник і знаменник змінилися в однакову кількість разів.

На рисунку порівняйте другу й третю пару. У третій Земля така сама велика, як у другій, але Місяць залишився з першої. Єдиного масштабу для цієї пари вже немає.

Два масштаби й одна помилка

Порівняйте діаметри. У другій парі обидва диски подвоєні; у третій — лише Земля.

Початкова модель

1 см моделі ↔ 2 000 км

Діаметр Землі: 6,37 см
Діаметр Місяця: 1,74 см
Місяць / Земля: ≈ 0,273

Вихідне відношення

Обидва діаметри ×2

1 см моделі ↔ 1 000 км

Діаметр Землі: 12,74 см
Діаметр Місяця: 3,47 см
Місяць / Земля: ≈ 0,273

Відношення збережене

Лише діаметр Землі ×2

Спільного масштабу немає

Діаметр Землі: 12,74 см
Діаметр Місяця: 1,74 см
Місяць / Земля: ≈ 0,136

Відношення зменшилося вдвічі

Порівнюються діаметри сфер за середніми об’ємними радіусами NASA. Числа в сантиметрах — розміри уявних моделей, не вимір екрана. Підписи округлені; відношення обчислені до округлення. Відстані між дисками довільні, орбіту не показано. Джерело: NASA · Moon Fact Sheet.

Підписи округлені для читання, а відношення обчислені з вихідних чисел. Якщо поділити лише округлені 1,74 на 6,37, останні цифри трохи відрізнятимуться. Це наслідок округлення, а не зміна моделі.

Ми порівнюємо тут тільки діаметри. Проміжок між дисками не показує відстані до Місяця. Якби будували просторову модель, відстань між центрами теж довелося б зменшити за тим самим правилом; довільне наближення кульок не зберігає масштаб усієї системи.

Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити

Чому множник зникає з відношення

Нехай $a$ — діаметр місячної моделі, $b$ — земної, а $q>0$ — спільний множник збільшення. Для додатних діаметрів:

\frac{qa}{qb}=\frac{a}{b}.

Множник $q$ скорочується. Ця рівність і є пропорцією: відношення після збільшення дорівнює відношенню до нього. Додавання однакової довжини поводиться інакше: відношення $2/6=1/3$ , але після додавання 2 до обох чисел маємо $4/8=1/2$ .

Знайдімо діаметр місячної моделі $d$ для земної моделі діаметром 10 см. Частка Місяць / Земля має бути такою самою, як у вибраних сфер:

\begin{aligned} \frac{d}{10\ \text{см}}&=\frac{3\,474{,}8}{12\,742},\\ d&=10\ \text{см}\times\frac{3\,474{,}8}{12\,742},\\ d&\approx2{,}73\ \text{см}. \end{aligned}

У дробі праворуч чисельник і знаменник — діаметри в кілометрах; кілометри скоротилися. Результат $d$ має одиницю сантиметра, як і заданий земний діаметр. Ми спочатку зберегли відношення, а вже з нього отримали потрібну довжину.

Пряма пропорційність потребує сталої умови

У межах одного масштабу більша реальна довжина завжди отримує більшу модельну довжину за тим самим множником. Удвічі більша — удвічі більшу; утричі більша — утричі більшу. Такий зв’язок називають прямою пропорційністю.

Його записують $y=kx$ , де $x$ — реальна довжина, $y$ — модельна, а $k$ — сталий коефіцієнт. Для першої моделі, якщо $x$ виражене в кілометрах, а $y$ — у сантиметрах, $k$ дорівнює 0,0005 см/км. Щоб отримати сантиметри, кожну довжину в кілометрах множимо на цей коефіцієнт. Для другої моделі вибрано інший $k$ , але він знову спільний для обох тіл. OpenStax: пряма пропорційність.

Слова «обидві величини збільшуються» ще не доводять прямої пропорційності. Якщо до кожного діаметра додати по два сантиметри, обидві моделі стануть більшими, але маленький Місяць зміниться відносно сильніше. Для прямої пропорційності має залишатися сталим відношення, а не різниця.

Відгалуження · Мова чиселНеобов’язково · можна пропустити

«Збільшити на» і «збільшити до» дають різні вказівки

Нехай початковий діаметр кульки — 6 см. Збільшити на 2 см означає додати два й отримати 8 см. Збільшити до 8 см одразу називає кінцеву довжину. Збільшити вдвічі означає помножити на два й отримати 12 см.

Для відсотків теж потрібна відправна величина. Збільшити 6 см на 50% початкового значення — додати 3 см і отримати 9 см. Збільшити до 150% початкового значення дає ті самі 9 см. А до 50% початкового значення — це 3 см, тобто зменшення.

Тому фразу «стало на 200%» краще уточнити. Додати 200% початкового значення означає отримати 300% початкового, тобто потроїти. Довести до 200% означає подвоїти. У моделі недостатньо числа без однозначної дії.

Діаметр подвоюється, площа й об’єм — інакше

Коли ми кажемо «збільшили модель удвічі», треба уточнити, що йдеться про кожну відповідну довжину. У подібних тіл усі довжини змінюються за одним множником: діаметр, радіус, довжина кола. Але площа складається з двох вимірів довжини, а об’єм — із трьох.

Це легко побачити на квадраті й кубі. Квадрат зі стороною 1 см займає 1 см². Квадрат зі стороною 2 см уміщує два ряди по два таких квадратики — разом 4 см². Куб зі стороною 2 см складається з двох шарів по чотири одиничні кубики — разом 8 см³. OpenStax: площі, об’єми та подібні обчислення.

Для сфер діє той самий принцип: при подвоєнні діаметра площа всієї поверхні збільшується вчетверо, а об’єм — увосьмеро. Це геометричний висновок про подібні форми. Він не каже, що справжню планету можна просто розтягнути, зберігши її густину, будову та інші фізичні властивості.

Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити

Де з’являються множники чотири й вісім

Для сфери радіуса $r$ площа всієї поверхні $S=4\pi r^2$ , а об’єм $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ . Позначимо новий радіус $r'=qr$ , де $q>0$ . Тоді:

\begin{aligned} S'&=4\pi(qr)^2,\\ &=q^2S,\\ V'&=\frac{4}{3}\pi(qr)^3,\\ &=q^3V. \end{aligned}

При $q=2$ отримуємо $q^2=4$ та $q^3=8$ . При $q=1/2$ довжини зменшуються вдвічі, площа — до чверті, об’єм — до однієї восьмої початкового. Штрих тут позначає нову величину. Обидві сфери мають ту саму форму, а всі їхні довжини змінені рівномірно.

Перевірмо, що змінилося, а що збереглося

У правильній парі діаметрів Землі й Місяця зменшили обидва діаметри втричі. Чи стане відношення Місяць / Земля втричі меншим? Ні: воно залишиться тим самим, приблизно 0,273. Зміняться обидві довжини та спільний масштаб, але спільний множник скоротиться у відношенні.

А якщо подвоїти лише діаметр Місяця, залишивши Землю? Тоді відношення подвоїться приблизно до 0,545. Така пара більше не зберігає реального співвідношення вибраних діаметрів. Для перевірки достатньо назвати, що стоїть у чисельнику, що в знаменнику й яку з величин змінили.

Для власного рисунка візьміть земний диск діаметром 10 см і місячний приблизно 2,73 см. Потім уявіть зменшену вдвічі копію. Для розрахунку використаємо вихідне неокруглене відношення: правильна відповідь — 5 см і приблизно 1,36 см, а не 5 см і незмінні 2,73 см. Ділення вже округлених 2,73 см навпіл могло б змінити останню цифру результату. Проміжок між дисками можна обрати для зручності, але такий рисунок показуватиме лише розміри тіл, а не їхнє взаємне розташування в масштабі.

Пропорція допомагає зберегти визначене відношення. Перед розрахунком назвіть величини, узгодьте одиниці й вирішіть, що лишається сталим. Тоді збільшення буде зрозумілою зміною моделі, а не довільною зміною чисел. Далі в курсі розберемо, чому квадрат числа так часто з’являється у фізиці.