Чому планети круглі?

Підніми камінь: він може бути пласким, гострим або схожим на картоплину. Земля теж складається переважно з каменю й металу, але здалеку виглядає майже кулею. Чому великий кам’яний світ не може залишитися таким самим кутастим?

Планети майже кулясті, бо їхнє власне тяжіння створює навантаження, під яким речовина може деформуватися й перерозподілятися. Великі виступи осідають, а загальна форма наближається до рівноважної. Міцність речовини зберігає місцеві нерівності, а обертання змінює саму рівноважну форму. Chandra: що визначає форму небесних тіл.

Але слово «власне» тут особливо важливе. Землю округлює тяжіння її ж речовини. Сонце не обточує планети, поки вони рухаються орбітами.

Якби Земля була кубом

Уявімо іншу Землю: приблизно тієї самої маси, але у формі куба. Для початку приберемо обертання та вплив інших тіл. Кути цього світу були б величезними виступами над його середніми ділянками. Чи змогла б порода втримати їхню вагу?

Гравітація — взаємне притягання всього, що має масу. У планеті кожна частина речовини притягує інші частини. Поблизу майже сферичного тіла сумарне тяжіння спрямоване приблизно до центра. Сам центр не є окремим магнітом або насосом: він лише зручна точка для опису сумарної дії всієї маси.

На звичайній горі нижня порода підтримує верхню. Виступ заввишки у значну частину планети створював би набагато більше навантаження. Порода під ним могла б руйнуватися або повільно змінювати форму. Надлишкова речовина опускалася б і розходилася в інші ділянки, зменшуючи величезні перепади висоти. Це перерозподіл речовини, а не стирання кутів у порожнечу. Модель гравітаційного навантаження: Lineweaver і Norman, с. 5–8.

Уявна кубічна планета

Виступи навантажують основу

Після перерозподілу речовини

Ближче до рівноважної форми

Схема уявного досліду, не кадри симуляції. Стрілки показують лише осідання виступів; речовина також перерозподіляється в інші ділянки. Контури не задають точного об’єму, часу чи траєкторій. Обертання, припливи й місцевий рельєф опущено.

Чому кінцевим ідеалом є саме куля? У необертовому ізольованому тілі, речовина якого встигає перерозподілитися й не підтримує великих нерівностей завдяки міцності, немає особливої осі або привілейованої грані. Рівноважні шари мають сферичну симетрію: на одному шарі немає «гори», з якої речовина могла б іще перетекти нижче. Куля — об’ємне тіло; коло — його плаский переріз. Обертання невдовзі повернемо до картини.

Округлення не означає безкінечного падіння до однієї точки. Усередині зростає тиск — сила, що припадає на одиницю площі. Сусідні шари тиснуть один на одного й можуть підтримувати вагу речовини над ними. Коли перепад тиску врівноважує тяжіння, говорять про гідростатичну рівновагу. Це корисний ідеал великого тіла, а не твердження, що кожна гора вже зникла. Як тиск урівноважує тяжіння.

Чому камінь не робить того самого

Камінь має власну гравітацію, проте вона надто слабка, щоб змусити його втратити кути. Міцність — здатність матеріалу витримувати навантаження без руйнування або незворотної зміни форми. Зв’язки між частинками дозволяють невеликому уламку зберігати виступи всупереч його слабкому самотяжінню. Це не означає, що в астероїда гравітація «ще не ввімкнулася».

Наприклад, астероїд Бенну складається з уламків, слабко зібраних власним тяжінням, і має форму, схожу на дзиґу. Отже, мале тіло не обов’язково є суцільною міцною брилою, а наявність гравітації не гарантує кулі. NASA: форма й будова Бенну за даними OSIRIS-REx.

Зі збільшенням тіла тієї самої середньої густини зростає маса, а разом із нею — гравітаційне навантаження всередині. Густина показує, скільки маси міститься в одиниці об’єму. Тому геометрично подібний виступ на великому тілі важче втримати, ніж на малому: важливі і більший стовп речовини, і сильніше самотяжіння.

Є ще час і температура. Тверда речовина не мусить розплавитися, щоб повільно змінювати форму. Наприклад, земна мантія переважно тверда, але її гаряча порода здатна дуже повільно деформуватися й текти. Те, що чинить опір короткому поштовху, може поступитися навантаженню, яке діє надзвичайно довго. Будова й деформація мантії, NPS: повільний рух речовини під твердими плитами.

Через це єдиного діаметра, після якого будь-яке тіло неодмінно стає круглим, немає. Камінь і лід мають різні властивості; мають значення температура, пористість, обертання, давні зіткнення та час, протягом якого тіло могло змінювати форму. Холодна оболонка може зберігати нерівності, що виникли раніше. Самого розміру недостатньо, щоб відновити цю історію. Огляд властивостей крижаних світів: розділи 3 і 5.

Відгалуження · РозрахунокНеобов’язково · можна пропустити

Як розмір збільшує внутрішнє навантаження

Наскільки сильна залежність від розміру? Візьмемо навчальну модель: необертову кулю з однаковою густиною всюди, нульовим зовнішнім тиском і гідростатичною підтримкою шарів. Це модель тиску, не модель міцності астероїда. У її центрі:

P_c=\frac{2\pi}{3}G\rho^2R^2.

Тут $P_c$ — центральний тиск у паскалях (Па); $R$ — радіус, тобто відстань від центра до поверхні, у метрах; $\rho$ — густина в кг/м³; $G\approx6{,}6743\times10^{-11}$ м³/(кг·с²) — гравітаційна стала; $\pi\approx3{,}1416$ — число пі. Формула випливає з підсумовування ваги шарів усередині однорідної кулі. Формула (2) у роботі Lineweaver і Norman.

Виберемо $\rho=3000$ кг/м³ як умовну густину кам’янистого матеріалу та $R=10$ км, тобто 10 000 м. Спочатку піднесемо густину й радіус до квадрата, тоді перемножимо:

\begin{aligned} P_c&\approx2{,}0944\times6{,}6743\times10^{-11}\\ &\quad\times3000^2\times10\,000^2\\ &\approx126\,000\ \text{Па}\\ &=0{,}126\ \text{МПа}. \end{aligned}

Мегапаскаль (МПа) — мільйон паскалів. Одиниці теж сходяться: м³/(кг·с²) × кг²/м⁶ × м² = кг/(м·с²), тобто Па.

Тепер збільшимо радіус удесятеро, до 100 км, не змінюючи густини. Оскільки радіус у квадраті, тиск зросте у $10^2=100$ разів — приблизно до 12,6 МПа. Подвоєння радіуса дало б збільшення в чотири рази; за радіуса, що прямує до нуля, зникає й тиск цієї моделі.

Цей розрахунок показує швидке зростання гравітаційного навантаження. Але з нього не випливає, що тіло радіусом 100 км стане кулею. Для зміни форми важливі відмінності напружень у різних напрямках, властивості матеріалу й час; саме стискання з усіх боків не є універсальним тестом руйнування. Реальні тіла також неоднорідні й обертаються. Наведена робота — авторська версія конференційної моделі 2010 року; її умовні оцінки розміру не є загальним законом класифікації.

Майже круглі — але не ідеальні кулі

Повернімо планеті обертання навколо власної осі. На екваторі — колі посередині між полюсами — речовина рухається найдалі від осі. Для такого руху потрібне прискорення до осі. У системі відліку, що обертається разом із планетою, це описують як відцентровий ефект: він послаблює ефективне тяжіння найбільше біля екватора й зникає на осі. Тіло, яке може перебудуватися, стає ширшим на екваторі та сплющується біля полюсів. NASA: екваторіальне потовщення.

Земля — трохи сплющена куля. Її екваторіальний радіус приблизно 6378,1 км, а полярний — 6356,8 км: різниця близько 21,4 км за точнішими довідковими значеннями. Порівняно з радіусом усієї планети це небагато, тому на невеликому рисунку сплющення важко помітити. NASA: радіуси Землі.

У Сатурна різниця помітніша. Його екваторіальний радіус близько 60 268 км, а полярний — 54 364 км. Швидке обертання робить сплющення виразним; результат залежить також від внутрішнього розподілу маси. У газового гіганта немає твердої поверхні, як у Землі: довідкові радіуси тут стосуються рівня атмосферного тиску 1 бар. NASA: довідкові параметри Сатурна, ESA: обертання та форма.

Перед порівнянням передбач: який силует помітніше відхилятиметься від пунктирного кола? На схемі кожну планету окремо приведено до однакової ширини, щоб бачити саме форму.

Земля

До екватора: 6 378,1 км
До полюса: 6 356,8 км
Сплющення: ≈ 0,34%

Сатурн

До екватора: 60 268 км
До полюса: 54 364 км
Сплющення: ≈ 9,8%

Порівнюємо форму, а не розміри: кожний екваторіальний радіус окремо прирівняно до 1. Сплющення не перебільшене; це (екваторіальний − полярний радіус) / екваторіальний радіус. Рельєф не показаний. Для Сатурна взято рівень атмосферного тиску 1 бар, а не тверду поверхню. Дані:NASA/NSSDC

Сатурн помітно нижчий за своє контрольне коло, Земля майже з ним збігається. Однакова ширина на рисунку не означає однакового розміру у просторі. А сплющення не є «недоробкою» тяжіння: для тіла, що обертається, рівноважна форма вже не мусить бути сферою.

Чому ж на Землі залишилися гори? Округлення стосується загальної форми, а не ідеальної гладкості. Відносно невеликі виступи може підтримувати міцність кори; геологічні процеси також створюють новий рельєф. Існування гір не означає, що власне тяжіння перестало визначати форму планети. NPS: утворення й зміна гір.

Відгалуження · ДоказиНеобов’язково · можна пропустити

Що можна встановити за круглим силуетом

На світлині тіло може здаватися круглим і водночас зберігати давні відхилення від теперішньої рівноважної форми. Одна проєкція ще й приховує третій вимір. Тому висновок «бачу круглий диск — отже, довів гідростатичну рівновагу» надто сильний.

Дослідники зіставляють виміряну форму з обертанням і гравітаційним полем, яке, зокрема, вивчають за змінами руху космічного апарата. Округлість — спостережувана ознака; рівновага — фізичний стан, який потрібно перевіряти. Саме цю відмінність розбирає огляд Nimmo й Pappalardo, розділ 3.

Тоді чому Місяць теж круглий?

Власне тяжіння не читає назв у каталозі. Воно діє і в планеті, і в її супутнику, і в карликовій планеті. Місяць майже кулястий, але залишається супутником Землі. Церера майже кругла, але класифікується як карликова планета.

За визначенням Міжнародного астрономічного союзу 2006 року для Сонячної системи форма — лише один із критеріїв планети. Важливі також орбіта навколо Сонця та гравітаційне домінування в її околиці. Карликова планета не виконує останньої умови й не є супутником. Тому з округлого силуету не можна вивести клас тіла. JPL: визначення IAU.

Тепер повернися до каменя з першого абзацу. Якби вдалося зробити його удесятеро більшим у всіх напрямках, залишивши ту саму густину, чи мусив би він одразу стати кулею? Ні. Самотяжіння й навантаження посилилися б, але без початкового розміру, властивостей матеріалу й часу на деформацію цього недостатньо для такого висновку. А якщо взагалі зупинити обертання планети, чи зникне причина її округлості? Теж ні: зникне внесок обертання, а власне тяжіння залишиться.

Планети круглі в загальному обрисі, бо за їхніх масштабів самогравітація здатна перебудовувати речовину всупереч її міцності. Реальна форма пам’ятає склад та історію тіла й змінюється через обертання. Корисний наступний крок — повернутися до карти Сонячної системи й пояснити, чому серед її майже круглих світів є планети, супутники та карликові планети.