Намалюймо Сонце діаметром 10 см, а поруч — Землю. Який проміжок залишити між ними: долоню, сторінку чи цілу кімнату? Якщо розміри й відстані справді зменшити однаково, Земля матиме діаметр лише 0,916 мм, а її орбітальний орієнтир лежатиме приблизно за 10,75 м від центра Сонця. Для Нептуна знадобиться вже близько 323 м.
Один масштаб означає один коефіцієнт для всіх довжин: діаметрів тіл, відстаней між центрами та розмірів орбіт. Якщо збільшити лише кружечки планет, щоб їх було видно, ми отримаємо корисну умовну схему, але вже не спільний масштаб розмірів і відстаней. NASA/JPL: побудова моделі зі спільним масштабом.
Спочатку обираємо одну лінійку
Почнемо з нашого 10-сантиметрового Сонця. Для розрахунку візьмемо сонячний діаметр 1 391 400 км: удвічі більший за номінальний сонячний радіус IAU. «Номінальний» тут означає домовлений точний стандарт перетворення, близький до фізичного розміру Сонця; це не заява, що спостереження визначили його діаметр без жодної похибки. Prša та співавтори: пояснення резолюції IAU 2015 B3.
Реальне Сонце потрібно зменшити приблизно в 13,9 мільярда разів. Тепер кожну іншу довжину ділимо на те саме число. Так діаметр Землі перетворюється на крапку менш як міліметр завширшки, а величезний проміжок між Землею та Сонцем — на десять із лишком метрів. Відношення відстані до діаметра Землі залишається тим самим: близько 11 740 земних діаметрів для орієнтира 1 au.
Астрономічна одиниця, au, дорівнює точно 149 597 870 700 м, або 149 597 870,7 км. Вона близька до характерного масштабу земної орбіти. Це одиниця довжини, а не обіцянка, що Земля завжди перебуває на однаковій відстані від Сонця. JPL: визначення au.
У таблиці нижче для кожної планети використано той самий тип розміру: діаметр сфери, яка має такий самий об’єм, як планета. Його отримуємо, подвоївши об’ємний середній радіус із таблиці JPL. Це дозволяє послідовно порівнювати і майже кулясту Землю, і помітно сплюснуті гіганти. Кільця Сатурна до його діаметра не входять. JPL: планетні розміри та визначення колонок.
Маленьке Сонце потребує довгої стежки
Тепер можна скласти план прогулянки. Установімо модель Сонця біля початку прямої вимірювальної лінії. Від її початку відкладемо орбітальні масштаби планет: приблизно 4,16 м для Меркурія, 10,75 м для Землі, 55,94 м для Юпітера. Нептун опиниться за 323,30 м, хоча його кулька матиме діаметр лише 3,54 мм.
Відстані тут відкладено від центра Сонця, а не щоразу від попередньої планети. За орбітальний орієнтир беремо округлену велику піввісь — половину найдовшої осі орбітального еліпса. Вона описує розмір орбіти, а не поточну відстань до планети. Це лінійка для порівняння орбітальних розмірів, а не фотографія Сонячної системи: планети не стоять уздовж цієї стежки в одну мить. JPL: орбітальні елементи.
Сонце 10 см: одна модель для всіх довжин
Смуги — лінійки орбітальних масштабів, а не диски планет. Кожна починається від центра Сонця; повна ширина відповідає Нептуну.
| Планета | Діаметр, мм | Орбітальний масштаб, м |
|---|---|---|
| Меркурій | 0,35 | 4,16 |
| Венера | 0,87 | 7,77 |
| Земля | 0,92 | 10,75 |
| Марс | 0,49 | 16,39 |
| Юпітер | 10,05 | 55,94 |
| Сатурн | 8,37 | 102,54 |
| Уран | 3,65 | 206,31 |
| Нептун | 3,54 | 323,30 |
Таблиця показує, чому внутрішні планети здаються «скупченими» на чесній лінійній шкалі: навіть весь шлях до Марса займає лише близько п’яти відсотків від шляху до Нептуна. Значна частина довжини моделі припадає на проміжки між зовнішніми орбітальними орієнтирами. Це наслідок їхніх відношень; вибір іншого спільного масштабу не зробить ці частки однаковими.
Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити
Як отримати 10,75 м без загублених нулів
Нехай k — відношення довжини в моделі до реальної довжини. Для обчислення цього відношення обидві довжини треба виразити в однакових одиницях. Один кілометр містить 100 000 см, тому сонячний діаметр становить 1,3914 × (10)^(11) см.
k = (10)/(1,3914 × (10)^(11)),; k ≈ 7,187 × (10)^( − 11).
Тут сантиметри скоротилися. Для будь-якої довжини L відповідна модельна довжина l = kL. Одна au дорівнює 1,495978707 × (10)^(13) см. Тому для земного орбітального орієнтира:
l = kL,; l ≈ 1075,16 см,; l ≈ 10,75 м.
Ми ділимо сантиметри на 100, щоб отримати метри. Для Нептуна множимо неокруглену модельну довжину однієї au на прийняті 30,070 au й отримуємо близько 323,30 м. Той самий k застосовується до діаметра Землі; окремого «коефіцієнта для планет» у спільному масштабі немає.
На сторінці планети майже зникають
Спробуймо втиснути відстань від Сонця до нептунового орієнтира в 30 см паперу. Нашу попередню модель доведеться зменшити ще приблизно в 1078 разів. Сонце стане крапкою діаметром близько 0,093 мм, а Земля — лише 0,85 мікрометра, тобто 0,00085 мм. Земля не виглядатиме помітним кружечком на такому рисунку.
Якщо натомість залишити видимі диски й однакові зручні проміжки, малюнок добре покаже порядок планет або їхній вигляд. Але з нього вже не можна виміряти реальні відношення довжин. Якщо відстані лінійні, а планети збільшені, підпис має сказати це одразу. Якщо відстані стиснуто нерівномірно чи показано на логарифмічній шкалі, це теж потрібно назвати.
Саме тому в нашій таблиці немає великих кружечків на кінцях смуг. Смуги показують лише орбітальний масштаб; діаметри записані числами. На фізичній стежці можна поставити велику табличку з назвою, щоб знайти крихітну модель планети. Табличка буде вказівником, а не збільшеним тілом, яке видають за частину точного масштабу.
Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити
Чому орбітальний орієнтир не є адресою планети
У простому кеплерівському описі орбіта — еліпс, а Сонце лежить в одному з його фокусів. Велика піввісь — половина найдовшого діаметра цього еліпса. Вона описує його розмір, але не задає відстань планети від Сонця в кожну мить. Для колової ідеалізації вона дорівнювала б радіусу; реальні планетні орбіти не слід мовчки заміняти колами. JPL: геометричне визначення великої півосі.
Для лінійки взято округлені значення великих півосей із початкових коефіцієнтів таблиці JPL для епохи J2000. Наприклад, для Юпітера це 5,203 au, для Нептуна — 30,070 au. У джерелі земний рядок належить спільному центру мас Землі й Місяця; тут його округлено до навчального орієнтира 1 au. Це достатньо для нашого грубого масштабу, але не для точного наведення телескопа. JPL: таблиця та межі наближених елементів.
Щоб намалювати положення на конкретну дату, потрібні також фаза руху, орієнтація й нахил орбіти та узгоджена система координат. Пряма стежка цього не відтворює. Вона чесно відповідає на вузьке питання: як співвідносяться розміри тіл і характерні розміри їхніх орбіт при однаковому зменшенні?
Перевірка хорошого масштабу проста
Перш ніж малювати, оберіть, що має вміститися: Сонце певного діаметра чи найдальший орбітальний орієнтир на певній довжині. За цією опорою знайдіть один коефіцієнт. Застосуйте його до всіх діаметрів і відстаней; лише після цього вирішуйте, як позначити надто малі об’єкти. Числовий підпис або виноска збереже інформацію там, де справжній диск не видно.
Перевірте себе: ми збільшили Сонце з 10 до 20 см, зберігши спільний масштаб. Що сталося із Землею та шляхом до нептунового орієнтира? Діаметр Землі подвоївся до приблизно 1,83 мм, а шлях — до 647 м. Якби подвоїлися тільки планети, спільний масштаб був би порушений.
Отже, намалювати Сонячну систему в масштабі можна: потрібно однаково зменшити кожну довжину й назвати, які орбітальні величини ми зображуємо. Складність у тому, що компактний рисунок залишає тіла майже невидимими, а видимі тіла потребують довгої моделі. Поверніться до складу Сонячної системи і спробуйте визначити, які з її звичних зображень показують порядок, які — розміри, а які справді зберігають відстані.