Ви стоїте у вагоні й тримаєтеся за поручень. До дверей від вас та сама відстань, але платформні стовпи пропливають за вікном. Ви рухаєтеся чи стоїте? Обидві відповіді можуть бути правильними — якщо назвати, відносно чого.
Рух — зміна положення тіла з часом у вибраній системі відліку. Швидкість описує, як швидко й, для векторної величини, у якому напрямку це положення змінюється. Тому число «5 метрів за секунду» ще потребує уточнення: відносно платформи, вагона чи іншого тіла. OpenStax: рух і система відліку.
Нерухомість теж потребує адреси
Щоб описати рух, спочатку домовляємося, звідки міряти положення, який напрямок вважати додатним і як відраховувати час. Наприклад, нуль координат закріпимо біля стовпа, додатний напрямок — уздовж колії праворуч, а секундомір увімкнемо, коли вагон промине стовп. Тіло відліку, пов’язана з ним система координат і відлік часу дають систему відліку.
Якщо пасажир не змінює положення відносно вагона, то в системі вагона він нерухомий. У системі платформи той самий пасажир рухається разом із вагоном. Слова «насправді стоїть» без названої системи тут нічого не додають: обидва описи стосуються однієї людини.
Це не означає, що будь-які вимірювання стають довільними. Спостерігачі мають узгодити, які події й координати вони порівнюють. Для початку розглядатимемо прямолінійний рух зі сталими швидкостями, набагато меншими за швидкість світла. Розгін, повороти та затримку приходу світла залишимо за межами прикладу. OpenStax: межі класичного опису відносного руху.
У вагоні один метр за секунду, на платформі — шість
Уявімо вагон, який рухається праворуч зі швидкістю 5 м/с відносно платформи. Пасажир іде вперед зі швидкістю 1 м/с відносно вагона. За одну секунду вагон переносить його на п’ять метрів, а ходьба додає ще один. Тому відносно платформи пасажир рухається зі швидкістю 6 м/с. Це додавання стосується спільного прямого напрямку й наших малих швидкостей.
Тепер перенесімо початок координат у вагон. Сам вагон матиме швидкість нуль, пасажир — плюс один метр за секунду, а стовп платформи — мінус п’ять: він віддаляється ліворуч. Мінус показує напрямок уздовж обраної осі, а не «меншу кількість руху».
Перед перемиканням схеми передбачте, де опиниться стовп. Потім порівняйте опис тих самих двох секунд. У прикладі всі тіла замінено точками; їхні початкові координати умовно збігаються. Це не креслення розмірів вагона.
Ті самі дві секунди — дві системи відліку
Передбачте, куди зміститься стовп у системі вагона. Перемкніть систему й порівняйте координати. Стрілки клавіатури змінюють вибір.
У системі платформи через дві секунди пасажир має координату 12 м, стовп — 0 м. У системі вагона це 2 м та −10 м. Відстань між пасажиром і стовпом в обох описах дорівнює 12 м. Перемикання системи не пересунуло пасажира: воно змінило спосіб записати його положення. OpenStax: додавання відносних швидкостей.
Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити
Як відняти рух вагона
Нехай x — координата тіла відносно платформи в метрах, t — час у секундах, u — стала швидкість вагона відносно платформи в м/с. Якщо нулі обох систем збігалися при t = 0, то за час t початок вагонної системи змістився на ut. Координата в ній:
(x)^(′) = x − ut.
Для пасажира через 2 с: (x)^(′) = 12 − 5 ⋅ 2 = 2 м. Так само для швидкості вздовж цієї осі (v)^(′) = v − u: від платформних 6 м/с віднімаємо 5 м/с і дістаємо вагонний 1 м/с. Для стовпа 0 − 5 = − 5 м/с. Добуток м/с на секунди дає метри, як і має бути для координати.
Це класичне, нерелятивістське наближення для рівномірно рухомих систем із паралельними осями та спільним відліком часу. Для швидкостей, близьких до швидкості світла, таке просте віднімання непридатне; світло не можна описати як ще одного пішохода у вагоні.
Повернутися на місце — не те саме, що нікуди не ходити
Залишімо вагон і розгляньмо прогулянку від нерухомої позначки. Ви пройшли шість метрів праворуч, потім шість метрів назад і зупинилися там, де почали. Лічильник пройдених метрів покаже шлях 12 м. Шлях — довжина пройденої траєкторії; повернення додає метри, а не стирає їх.
Переміщення відповідає на інше запитання: як кінцеве положення відрізняється від початкового? У цій прогулянці вони збігаються, тому переміщення нульове. Якби ви зупинилися на два метри правіше від початку, переміщення вздовж осі було б +2 м, незалежно від зайвих кроків дорогою. OpenStax: шлях і переміщення.
Це розрізнення веде до двох середніх. Середня шляхова швидкість — увесь шлях, поділений на весь вибраний проміжок часу. Середня векторна швидкість — переміщення, поділене на той самий проміжок. Перша говорить, як швидко накопичувалися пройдені метри; друга зберігає інформацію про підсумкову зміну положення та її напрямок.
Нехай шість метрів туди зайняли три секунди, шість метрів назад — ще три, а після повернення ви дві секунди стояли. За весь восьмисекундний інтервал середня шляхова швидкість становить 12 м / 8 с = 1,5 м/с. Середня векторна дорівнює 0 м/с, бо кінцеве переміщення нульове. Нуль тут не заперечує прогулянку.
Дві секунди стоянки входять у цей інтервал. Якщо виключити їх, отримаємо інше запитання — середню лише за шість секунд руху, 2 м/с. Перш ніж порівнювати середні швидкості, перевіряйте не тільки одиниці, а й початок та кінець відліку. OpenStax: середня шляхова й векторна швидкість.
Відгалуження · З одиницямиНеобов’язково · можна пропустити
Чому один метр за секунду — це 3,6 км/год
У годині 3600 секунд, а в кілометрі 1000 метрів. За сталої швидкості 1 м/с тіло за годину пройде 3600 м, тобто 3,6 км. Отже:
1 м/с = 3,6 км/год.
Щоб перейти з м/с у км/год, множимо на 3,6; у зворотному напрямку — ділимо. Наприклад, 36 км/год = 10 м/с. Перерахунок змінює одиницю, а не рух і не систему відліку.
Середня за подорож і швидкість зараз — різні описи
Знаючи лише 12 м та 8 с, не можна відновити всі деталі прогулянки. Можна було йти з різною швидкістю на окремих ділянках або інакше розподілити зупинки. Одна середня стискає цілу історію до одного відношення.
Миттєва швидкість описує рух у конкретний момент. Її ідею можна уявити через вимірювання зміни положення на дедалі коротших проміжках навколо цього моменту. Показ спідометра стосується швидкості зараз, а не середньої від початку подорожі. OpenStax: миттєва швидкість.
Коли важливий напрямок, швидкість зображають стрілкою — вектором. Дві людини можуть іти однаково швидко, але в протилежні боки: модулі їхніх швидкостей однакові, вектори — різні. Так само рух по колу може мати сталу швидкість за модулем, але напрямок її вектора весь час змінюється. У формулах і перекладах варто дивитися, чи йдеться лише про величину, чи також про напрямок.
Для космічного апарата уточнення системи ще важливіше. Земля сама рухається, тому швидкість зонда відносно Землі й відносно Сонця — різні величини. В астрономічних вимірюваннях систему відліку записують разом із даними; це частина змісту числа. NRAO: системи відліку швидкостей.
Тепер повернімося до пасажира біля поручня. Він нерухомий відносно вагона й рухається відносно платформи. Щоб розібратися з будь-якою швидкістю, з’ясуйте три речі: відносно чого, за який проміжок і чи враховано напрямок. А якщо людина повернулася на старт, не плутайте нульове переміщення з нульовим шляхом.
Спробуйте описати рух знайомого предмета спочатку відносно кімнати, потім відносно тіла, яке ви переміщуєте разом із ним. Для більшого масштабу поверніться до обертання Землі та зміни дня й ночі. Далі в курсі з’ясовуватимемо, чому рух тіл змінюється.