Наскільки далеко розташовані планети одна від одної?

Уявіть таблицю: Земля — приблизно 150 мільйонів кілометрів від Сонця, Марс — 228 мільйонів. Віднімемо — і отримаємо близько 78 мільйонів кілометрів. Здається, ось і відстань до Марса. Але обидві планети рухаються, а таблиця нічого не сказала про те, по який бік Сонця вони перебувають.

Між двома планетами немає однієї сталої відстані: вона залежить від їхнього положення на орбітах. Для Землі й Марса це десятки або сотні мільйонів кілометрів. У спрощеній моделі кругових орбіт радіусами 1 і 1,52 астрономічної одиниці відстань змінюється приблизно від 78 до 377 мільйонів кілометрів. Це діапазон навчальної моделі, а не точні межі реальних зближень. Розберімося, звідки беруться ці числа. JPL: розміри й форма орбіт.

Астрономічна одиниця: зручна лінійка

Числа з багатьма нулями важко порівнювати. Тому всередині Сонячної системи часто використовують астрономічну одиницю, міжнародне позначення au. Одна au дорівнює рівно 149 597 870 700 метрів, тобто приблизно 149,6 мільйона кілометрів. Це близько до характерної відстані Земля–Сонце, але не означає, що Земля завжди саме на такій відстані. Визначення одиниці фіксоване; положення планети змінюється. JPL: визначення au.

Замість «Юпітер приблизно за 778 мільйонів кілометрів від Сонця» можна сказати «його орбіта має характерний розмір близько 5,2 au». Так легше побачити: Юпітер обертається приблизно вп’ятеро далі від Сонця, ніж Земля. Це порівняння відстаней, не розмірів самих планет.

Реальні орбіти — не ідеальні кола. Їх описують еліпсами, і велика піввісь — половина найдовшої осі еліпса — задає характерний розмір орбіти. Саме її часто наводять у таблицях як «середню відстань від Сонця». Вона не є поточною відстанню й не тотожна точному середньому за часом. Далі в таблиці використовуємо округлені великі півосі, а в навчальній схемі замінюємо еліпси колами цих радіусів.

Сонячна система на прогулянці

Уявімо масштаб 1 au = 10 метрів. Земля буде приблизно за 10 метрів від позначки Сонця, Марс — за 15,2 метра, Юпітер — за 52 метри. До Нептуна доведеться відійти приблизно на 301 метр. Усі чотири кам’янисті планети вмістяться в перші 15,2 метра, а велика частина моделі простягнеться далі.

Якби 1 au дорівнювала 10 метрам

Планета	Розмір орбіти, au	Від Сонця в моделі, м
Меркурій	0,39	3,9
Венера	0,72	7,2
Земля	1	10
Марс	1,52	15,2
Юпітер	5,2	52
Сатурн	9,54	95,4
Уран	19,19	191,9
Нептун	30,07	300,7

Великі півосі орбіт округлено до сотих au; смужки мають спільний лінійний масштаб до Нептуна. Це відстані від Сонця, а не між сусідніми планетами. Для Землі використано округлення параметра центра мас Землі й Місяця. Джерело: JPL, Table 1.

Таблиця розкладає розміри орбіт уздовж однієї лінійки. Вона не стверджує, що всі планети зараз стоять у ряд. Відняти дві позначки означає знайти проміжок між відповідними круговими орбітами вздовж одного напрямку. Для відстані між самими планетами ще потрібні їхні положення.

Є й причина, чому книжкові малюнки показують великі планети майже впритул. У нашому масштабі діаметр Землі був би приблизно 0,85 міліметра. На відстані 10 метрів таку цятку важко роздивитися, а Нептун має бути за сотні метрів. Тому в схемах часто збільшують тіла або стискають відстані; корисно перевіряти, який саме масштаб збережено. JPL: побудова масштабної моделі, діаметри планет.

Той самий Марс, інша відстань

Поставмо Сонце в центрі, Землю — на колі радіусом 1 au, а Марс — на колі радіусом 1,52 au. Поки вони з одного боку Сонця на одному промені, між ними різниця радіусів: 1,52 − 1 = 0,52 au, або близько 78 мільйонів кілометрів.

Якщо Марс опиниться по інший бік Сонця, між планетами буде сума радіусів: 1,52 + 1 = 2,52 au, приблизно 377 мільйонів кілометрів. При проміжному положенні відрізок проляже навскіс. Навіть коли відстань кожної планети до Сонця в цій моделі стала, взаємна відстань змінюється.

Спробуйте передбачити результат: що станеться з відстанню, коли кут при Сонці зміниться з 0° до 180°? Потім перевірте іншу пару, наприклад Юпітер і Сатурн. Масштаб прогулянки змінює лише те, скільки метрів ми пройшли б у моделі.

Дві планети: змініть конфігурацію

Передбачте: чи залишиться відстань Земля–Марс сталою, якщо повернути напрям на Марс? Оберіть пару, змініть кут або натисніть опорну конфігурацію. A і B позначають вибрані планети.

Без інтерактиву показано Землю й Марс при 0°. Опорні значення нижче доступні завжди.

Радіуси навчальних кіл: A · Земля = 1 au; B · Марс = 1,52 au.

Між планетами: 0,52 au77,8 млн км
Геометричний світловий час: 4,3 хв
У вибраному масштабі: 5,2 м

Земля–Марс: перевірка трьох положень
Кут	Відстань, au
0°	0,52
90°	1,82
180°	2,52

Навчальні кола в одній площині; дати й рух у часі не моделюються. Розміри тіл збільшено. Масштаб схеми автоматично підлаштовується до вибраної пари; за великої різниці радіусів внутрішня орбіта майже зливається із Сонцем. Відрізок — геометрична відстань, не маршрут ракети. Світловий час d/c нехтує рухом і не гарантує прямої видимості крізь Сонце. Радіуси округлено з великих півосей: JPL, Table 1; au, BIPM: c.

Кут тут відраховано при Сонці між напрямками на дві планети. Це не кут між ними на нашому нічному небі. Схема також не пов’язана з сьогоднішньою датою: ви обираєте геометричну конфігурацію, а не прокручуєте календар.

Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити

Як порахувати відстань для будь-якого кута

Сонце й дві планети утворюють трикутник. Позначимо радіуси навчальних кіл через $r_1$ і $r_2$ , кут між ними через $\theta$ , а потрібну відстань через $d$ . Теорема косинусів дає:

d^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\theta.

Якщо радіуси в au, то й $d$ отримуємо в au. При 0° косинус дорівнює 1 і маємо різницю радіусів за модулем; при 180° косинус дорівнює −1 і маємо їхню суму.

А при 90° косинус дорівнює нулю. Для Землі й Марса:

d=\sqrt{1^2+1{,}52^2}\approx1{,}82\ \text{au}.

Це приблизно 272 мільйони кілометрів. Кут змінився, радіуси — ні. Відстань визначає весь трикутник, тому одного віднімання чисел із таблиці недостатньо.

Чому реальне зближення може бути ближчим

Наша кругова модель не відтворює еліптичність орбіт, їхні нахили й зміни під дією тяжіння інших тіл. Марс то наближається до Сонця, то віддаляється; Земля теж не тримається на незмінному радіусі. Тому реальні відстані не обмежені числами, які ми отримали для двох фіксованих кіл.

Є наочна перевірка. 27 серпня 2003 року, під час знімка Hubble поблизу тісного зближення, Земля й Марс були приблизно за 55,8 мільйона кілометрів один від одного. Це менше за 78 мільйонів у нашій схемі. Спостереження не спростовує геометрію трикутника: воно показує, що радіуси 1 і 1,52 au не описують усі реальні положення. NASA: відстань під час знімка Hubble 2003 року.

Коли питаєте «яка планета найближча?», уточнюйте, сьогодні, під час найтіснішого зближення чи в середньому за певний час. Це різні запитання. Щоб назвати відстань на конкретну дату, потрібні розраховані положення — ефемериди. Точні моделі враховують більше, ніж радіуси орбіт; навчальна схема цього не замінює. JPL: визначення положень і Horizons.

Світло летить хвилини, апарат — значно довше

Ще один спосіб відчути відстань — запитати, скільки часу її долає світло. У вакуумі воно рухається приблизно зі швидкістю 300 тисяч кілометрів за секунду. Для 1 au це близько 8 хвилин 19 секунд. Навіть такий швидкий сигнал не робить Сонячну систему «поруч». BIPM: швидкість світла.

Відгалуження · З числамиНеобов’язково · можна пропустити

Від кілометрів до хвилин затримки

Час $t$ для заданої довжини $d$ оцінюємо як $t=d/c$ , де $c$ — швидкість світла. Якщо $d$ задано в кілометрах, а $c\approx300\,000$ км/с, то час вийде в секундах. Для приблизних 78 мільйонів кілометрів:

t\approx\frac{78\,000\,000}{300\,000}=260\ \text{с}.

Це близько 4 хвилин 20 секунд в один бік. Відповідь, яку адресат надсилає одразу після отримання, повернулася б ще приблизно через стільки ж; обробка сигналу додасть свій час.

Для 377 мільйонів кілометрів та сама оцінка дає приблизно 21 хвилину в один бік. Це геометричний час для заданої довжини: він нехтує рухом за час поширення й не гарантує прямого радіозв’язку, коли між планетами Сонце. Числа не є повною моделлю зв’язку конкретної місії.

Тривалість польоту апарата так не визначають. Він рухається значно повільніше за світло, летить траєкторією під дією тяжіння й має зустріти планету, яка за цей час переміститься. Тому запуск планують за взаємним положенням, потрібною енергією та умовами прибуття, а не просто на день найменшої поточної відстані. Пряма помаранчева лінія в нашій схемі — довжина між двома точками, а не маршрут місії. JPL: геометрія вікна запуску до Марса.

Перевірте себе: у таблиці Земля має 1 au, а Марс — 1,52 au. Чи можна сказати, що між ними завжди 0,52 au?

Ні. Це різниця радіусів навчальних кіл, яка дає відстань лише коли планети лежать на одному промені від Сонця. На протилежних боках у цій моделі буде 2,52 au; на справжніх еліптичних орбітах змінюються ще й відстані до Сонця.

Планети — рухомі точки у великій системі, а не намистини на незмінній нитці. Au допомагає порівняти масштаб, геометрія пояснює зміну відстані, а дата й точніша модель потрібні для конкретного вимірювання. Поверніться до карти Сонячної системи, щоб співвіднести ці відстані з її будовою. Далі в курсі вирушимо за межі планетної системи.