Чому предмети падають на землю?

Візьмімо два однакові аркуші паперу. Один залишимо розгорнутим, другий зімнемо й відпустимо їх з однакової висоти. Зім’ятий зазвичай опиниться внизу раніше. Невже Земля сильніше притягує папір після зминання, хоча його маса не змінилася?

Предмети падають через земне тяжіння. А те, як саме вони падають у повітрі, залежить ще й від опору середовища. Без цього опору малі тіла, відпущені поруч з однакової висоти й без початкового поштовху, падали б з однаковим прискоренням незалежно від маси. Щоб зрозуміти різницю між двома аркушами, треба розділити ці дві дії. NASA: вільне падіння.

Тяжіння діє ще до того, як ми розтиснули пальці

Коли предмет спокійно лежить у долоні, Земля вже його притягує. Він не падає, бо рука підтримує його: сила з боку долоні врівноважує силу тяжіння. Після відпускання ця підтримка зникає, а земне притягання залишається. Тому рух предмета починає змінюватися. NASA: сили й зміна руху.

Гравітація — взаємодія, завдяки якій тіла притягують одне одного. Для звичайних падінь біля Землі її добре описує ньютонівська модель. Притяганню не потрібні ані мотузка, ані потік повітря між предметом і планетою. Вакуум прибирає повітряний опір, але не прибирає земного тяжіння. NASA: гравітаційна сила.

Наше «вниз» означає приблизно напрямок до центра Землі. Це локальний напрям, пов’язаний із планетою, а не єдиний низ для всього Всесвіту. Людина на іншому боці Землі теж відпускає предмет до своїх ніг, бо для неї центр планети розташований в іншому напрямку.

Притягання взаємне: предмет також притягує Землю. Сили на цих двох тілах однакові за величиною, але маса планети незрівнянно більша, тому зміна її руху в такому досліді надзвичайно мала. Землю зручно вважати нерухомою опорою нашого опису. NASA: що робить тяжіння.

Падіння — це зміна швидкості

Щойно відпущений предмет ще не має великої швидкості вниз. Тяжіння поступово її збільшує. Прискорення описує, як змінюється швидкість із часом; це не інша назва самої швидкості.

Для короткого падіння без опору поблизу земної поверхні беремо прискорення приблизно 9,8 м/с². Це означає, що за кожну секунду швидкість униз збільшувалась би приблизно на 9,8 м/с, поки модель залишається придатною. Число не означає «9,8 метра за кожну секунду шляху». У перші рівні проміжки часу предмет проходить щораз більші відстані. NASA: прискорення вільного падіння.

У схемі нижче між двома першими положеннями невеликий проміжок, між наступними — більший. Часові кроки однакові. Саме тому зі збільшенням висоти час падіння не зростає так само швидко, як сама висота: додаткову частину шляху предмет долає вже швидше.

Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити

Як пов’язані висота й час

Відрахуємо пройдену відстань $s$ вниз від місця відпускання. За нульової початкової швидкості й сталого прискорення $g$ :

s=\frac{gt^2}{2},\qquad v=gt.

Тут $t$ — час у секундах, $s$ — метри, $v$ — швидкість униз у м/с, а $g=9{,}8$ м/с². Наприклад, за $0{,}2$ с маємо $s=0{,}196$ м і $v=1{,}96$ м/с. Ці числа описують різні речі: пройдений шлях і швидкість у кінці проміжку.

Із висоти $h$ час до поверхні в цій моделі дорівнює $t=\sqrt{2h/g}$ . З 0,5 м виходить приблизно 0,32 с, а з 2 м — 0,64 с: учетверо більша висота дає вдвічі більший час. Це розрахунок для земного падіння без опору, а не вимір падіння паперу. Стале значення $g$ тут є локальним наближенням; на великих висотах, за значного опору чи початкового поштовху потрібен інший опис. NASA: рівняння балістичного руху.

Чому масивніший предмет не випереджає інший у вакуумі

Можна заперечити: Земля ж сильніше притягує масивніший предмет. Так, сила на нього більша. Але більшу масу важче прискорити. У цій моделі відношення сили тяжіння до маси залишається тим самим: якщо збільшити масу вдвічі, земне притягання теж збільшиться вдвічі, а прискорення залишиться тим самим.

Тому для порівняння важливі однакові умови. Перо й кулька мають бути поруч, відпущені одночасно з однакової висоти та з однаковою початковою швидкістю. Якщо одну кульку кинути вниз, а другу лише відпустити, вони не зобов’язані вдаритися разом, хоча тяжіння прискорює їх однаково. NASA: маса й вільне падіння.

Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити

Де в розрахунку поділася маса

У ньютонівському описі зі сталою масою результуюча сила $F$ пов’язана з прискоренням $a$ рівнянням $F=ma$ . Біля поверхні сила тяжіння $F_{\mathrm{grav}}=mg$ . Якщо діє лише вона, то:

a=\frac{F_{\mathrm{grav}}}{m}=\frac{mg}{m}=g.

Маса $m$ скоротилася. Це спосіб побачити, як модель відтворює однакове прискорення, а не твердження, що маса взагалі не впливає на сили. Додавши іншу силу, наприклад опір повітря, ми вже не можемо підставляти замість усієї результуючої сили тільки $mg$ . NASA: другий закон руху, сила тяжіння.

Тяжіння залишається, умови змінюються

Без опору повітря

Кульку й перо відпущено зі спокою разом. Через однаковий час вони опускаються на однакову відстань. Знімки показують положення обох тіл через кожні 0,1 с.

Час, с	Відстань униз, м	Швидкість, м/с
0	0	0
0,1	0,049	0,98
0,2	0,196	1,96
0,3	0,441	2,94

У повітрі

Два однакові аркуші: один розгорнутий, другий зім’ятий. Маса однакова, але форма й взаємодія з повітрям різні. Тому рух може відрізнятися.

Тяжіння — вниз

Опір — проти руху відносно повітря

Для вертикального падіння в нерухомому повітрі опір спрямований угору. Довжини стрілок умовні; тут немає розрахунку часу падіння паперу.

Перша панель — земна модель поблизу поверхні: g = 9,8 м/с², стартова швидкість нуль, лише тяжіння, s = gt²/2 і v = gt. Вертикальна відстань пропорційна обчисленому s; розміри та горизонтальне розділення тіл умовні. Друга — якісне порівняння форм, а не траєкторії. Джерела: NASA: рівняння падіння; NASA: залежність опору.

Повітря повертає форму в задачу

Повернімося до аркушів. Падаючи, папір рухається відносно повітря й змушує його обтікати свою поверхню. Опір повітря протидіє цьому відносному рухові. Для вертикального падіння в нерухомому повітрі він спрямований угору, проти руху вниз.

Сила опору залежить від швидкості, густини повітря, форми, розміру та орієнтації предмета. Розгорнутий аркуш і зім’ятий папір по-різному взаємодіють із потоком. Аркуш може ще й хитатися та перевертатися. Тому однієї маси недостатньо, щоб передбачити точний час їхнього падіння. NASA: від чого залежить опір.

Зминання не «вмикає» додаткового тяжіння. Воно змінює форму, а отже — дію повітря. Саме тому цей приклад корисніший за правило «важке падає швидше»: два аркуші можуть мати однакову масу й різний рух.

Перевірте міркування подумки: що буде з перевагою зім’ятого паперу, якщо прибрати повітря та зберегти однакове відпускання? У нашій вакуумній моделі вона зникне. Без різного повітряного опору форма не надає одному аркушу іншого прискорення.

На Місяці це перевірили молотком і пером

У 1971 році під час Apollo 15 Девід Скотт одночасно відпустив молоток і перо над місячною поверхнею. Там практично немає повітряного опору, і обидва предмети впали разом — у межах точності такого відпускання й спостереження. NASA зберігає опис і відео демонстрації. NASA: молоток і перо Apollo 15.

Місячний дослід показує важливу різницю: прибрали вплив повітря, а падіння залишилося. Тяжіння не потребує атмосфери. Водночас відео не є обіцянкою, що будь-які два реальні предмети за будь-яких обставин рухатимуться однаково: умови порівняння мають значення.

Отже, після розтискання пальців зникає підтримка руки, а земне тяжіння змінює рух предмета. Повітря може істотно змінити це падіння й зробити форму помітною. Щоб пояснити, хто досягне підлоги раніше, запитайте не лише «яка маса?», а й «які початкові умови та які сили діють?»

Те саме притягання пов’язує тіла в Сонячній системі. Далі в курсі з’ясуємо, чому Місяць під дією земного тяжіння не врізається в поверхню планети.