Камінь, випущений із руки, досягає землі. Місяць теж притягується до Землі, але місяць за місяцем залишається в небі. Чому тяжіння приводить один предмет до зіткнення, а інший — до руху навколо планети?
Місяць перебуває у вільному падінні й водночас рухається поперек напрямку на Землю. Тяжіння викривляє його шлях, а наявний рух дозволяє оминати земну поверхню. Орбіта виникає завдяки дії гравітації; падіння не обов’язково завершується зіткненням. NASA: як працюють орбіти.
Падати можна й рухаючись убік
Уявімо сферичну Землю без атмосфери й маленьке тіло високо над нею. Спочатку воно нерухоме відносно цієї умовної Землі. Тяжіння прискорює його до центра, і тіло рухається вниз уздовж радіуса, доки не досягне поверхні.
Тепер із того самого місця надамо йому початкову швидкість поперек радіуса. Поки тяжіння змінює рух у напрямку Землі, тіло також переміщується вбік. Його шлях стає кривим. За невеликої поперечної швидкості він усе одно перетне поверхню, просто в іншому місці.
Зі збільшенням початкової швидкості змінюється форма шляху. За відповідних умов тіло встигає рухатися вбік так, що земна поверхня залишається осторонь його траєкторії. Тіло продовжує падати навколо Землі. Так працює відомий уявний дослід Ньютона з горизонтальним запуском; справжня гігантська гора й гармата для пояснення не потрібні. NASA: межі цього уявного досліду.
Тяжіння змінює швидкість, а не скасовується нею
Для опису руху нам потрібні і величина швидкості, і її напрям. Навіть коли тіло проходить однакові відстані за однаковий час, воно може змінювати напрям. Така зміна швидкості теж означає прискорення.
На коловій орбіті швидкість у кожній точці спрямована по дотичній до кола, а гравітаційне прискорення — до центра Землі. Через це напрям руху безперервно повертається. Величина швидкості залишається сталою, але саме тяжіння утримує шлях викривленим. OpenStax: сила та прискорення на коловій орбіті.
У цьому описі немає другої сили, яку створює сама швидкість і яка врівноважує тяжіння. Якби результуюча сила справді зникла, тіло продовжило б прямолінійний рух. Для обертання навколо Землі потрібна безперервна зміна напрямку, і гравітація її забезпечує.
Одна Земля, чотири початкові швидкості
Перед перемиканням схеми передбачте: що станеться, якщо прибрати поперечну швидкість? А чи будь-який рух убік уже гарантує орбіту, яка оминає поверхню?
У всіх чотирьох запусках нижче однакові Земля, початкове місце й початковий напрям тяжіння. Змінюємо лише величину початкової поперечної швидкості. Кругова швидкість — та, за якої на цій відстані шлях стає колом. Крива показує весь обраний відрізок шляху одразу; це не анімація й не послідовність рівних проміжків часу.
Змінюємо поперечну швидкість, залишаємо те саме тяжіння
Передбачте, що станеться без руху вбік. Потім порівняйте чотири запуски з одного місця. Стрілки клавіатури змінюють вибір; руху й відліку часу тут немає.
vc = 5,59 км/с. v₀ — напрям початкової швидкості; a — прискорення тяжіння на старті. Довжини стрілок не є шкалою швидкості чи прискорення. Велика крапка — старт, мала — кінець показаної лінії.
Умовні запуски, не орбіта Місяця чи план місії. Нерухома сферична Земля R = 6371 км; старт із 2R від центра, тобто з висоти R. Поле GM/r², GM = 398600,435507 км³/с²; тіло має нехтовну масу, початкова швидкість поперечна до радіуса. Немає повітря, інших тіл, рушія, обертання й рельєфу. Однакова геометрична шкала в усіх режимах; тестове тіло збільшене. Лінії обчислено аналітично; нерадіальні траєкторії вибірковано рівномірно за кутом, не за часом. Джерела: NASA, OpenStax, JPL GM, JPL R.
Нульова швидкість дає пряме падіння. Половина кругової вже викривляє шлях, але тіло ще стикається із Землею. Кругова швидкість дає замкнений шлях над поверхнею. У четвертому випадку швидкості достатньо для незамкненої траєкторії: у цій ізольованій моделі тіло може віддалятися необмежено, хоча гравітація весь час діє.
Схема навмисно починається набагато ближче до Землі, ніж розташований Місяць. Тут початкова відстань від центра — два земні радіуси, а висота над поверхнею — один радіус. Місяця на цій схемі немає. Це порівняння умовних запусків, яке допомагає відокремити дію тяжіння від ролі початкового руху.
Місяць має саме такий рух, але не ідеальне коло
Середня відстань до Місяця становить близько 384 400 км. Це приблизно 60 радіусів Землі від її центра. На такій відстані Земля все ще притягує Місяць, а його рух проходить далеко від поверхні. NASA: відстань до Місяця.
Для розуміння достатньо поєднати дві думки: у Місяця вже є орбітальний рух, а земне тяжіння постійно змінює його швидкість. Рушій, який безперервно підштовхував би його по орбіті, не потрібний. Стан руху визначається попередньою історією системи; тяжіння впливає на те, як цей рух продовжується.
Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити
Якої швидкості потребує колова орбіта
Нехай r — відстань від центра Землі, M — її маса, G — гравітаційна стала, а v — величина швидкості. Гравітаційне прискорення дорівнює GM/(r)^(2). Для руху по колу радіуса r потрібне прискорення (v)^(2)/r, спрямоване до центра. Прирівнюємо ці два вирази для одного прискорення:
(GM)/((r)^(2)) = ((v)^(2))/(r), v = √((GM)/(r)).
Підставивши GM ≈ 398 600,4 км³/с² та r = 384 400 км, отримуємо близько 1,02 км/с. Прискорення від Землі на цій відстані — близько 0,0027 м/с². Тут навмисно змінили одиниці: швидкість подано в кілометрах за секунду, прискорення — у метрах за секунду у квадраті.
Це розрахунок для колової орбіти біля нерухомої Землі, а не вимір миттєвої швидкості Місяця. Формула пояснює, чому потрібна кругова швидкість залежить від відстані. OpenStax: виведення кругової швидкості, JPL: гравітаційний параметр Землі.
Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити
Що змінюється в реальній системі
Місячна орбіта не є точним колом: відстань до Землі змінюється. На рух впливає також Сонце, а форма й орієнтація орбіти з часом змінюються. Для точного положення Місяця потрібна складніша модель, ніж один незмінний еліпс. NASA GSFC: особливості місячної орбіти.
Крім того, Земля теж рухається під дією місячного тяжіння. Обидва тіла обертаються навколо спільного центра мас. Маленьке тестове тіло й нерухома Земля на нашій схемі допомагають побачити головний механізм, але не відтворюють усі рухи реальної пари. JPL: планетні супутники та центр мас.
Вільне падіння описує рух, а не обов’язкове зіткнення
Перевірте себе: якби в нашій ідеальній моделі миттєво зникло тяжіння, чи тіло залишилося б на коловій орбіті? Ні. Без сили, що змінює напрям швидкості, воно полетіло б по прямій уздовж дотичної. Отже, для кола потрібне саме тяжіння.
А якщо залишити тяжіння, але занулити поперечну швидкість? Це вже інший початковий стан: тіло падатиме до Землі вздовж радіуса. Таке порівняння не є прогнозом майбутнього Місяця; воно показує, за що відповідають різні складові пояснення.
Місяць оминає Землю завдяки своєму руху, а гравітація безперервно викривляє цей рух. Тому «падає» і «рухається по орбіті» можуть описувати той самий процес. Спостерігаючи зміну форми Місяця, можна також звертати увагу на його переміщення серед зір — видимий наслідок орбітального руху. Далі в курсі розбиратимемо, що означає вільне падіння для космонавтів усередині орбітального корабля.