Як розрахувати час польоту космічного корабля?

Уявімо корабель, якому треба подолати 300 000 кілометрів. Він проходить по 10 кілометрів щосекунди. Поділимо 300 000 на 10 й отримаємо 30 000. Але чого — секунд, хвилин чи годин? І чи можна так само розрахувати політ до Марса?

Якщо довжина шляху задана, а швидкість стала й додатна, час дорівнює відстані, поділеній на швидкість: $t=d/v$ . У нашому прикладі це 30 000 секунд, або 8 годин 20 хвилин. Це відповідь для навчальної моделі. Щоб передбачити прибуття справжнього корабля, треба ще визначити його траєкторію та зміну швидкості. OpenStax: зв’язок шляху, швидкості й часу.

Спочатку домовимося, яку подорож рахуємо

У нашому уявному просторі є дві позначки: старт і фініш. Вони нерухомі одна відносно одної в обраній системі відліку — способі задавати положення та час. Для цієї вправи система відліку не прискорюється. Відстань між позначками по прямій становить рівно 300 000 км. Це вигадане число для вправи, а не поточна відстань до Місяця чи іншого тіла.

Корабель летить прямо від старту до фінішу зі сталою швидкістю 10 км/с, виміряною відносно цих позначок. Відлік починається, коли він проходить старт уже з такою швидкістю, і закінчується при проходженні фінішу. Розгін перед стартом і зупинку після фінішу не враховуємо. Гравітація не викривляє й не змінює цей умовний рух.

Відстань, швидкість і час мають належати до однієї узгодженої системи відліку. Не можна взяти шлях у системі Сонця, а швидкість корабля відносно Землі й очікувати правильного результату. Положення й рух завжди описують відносно обраної системи. OpenStax: системи відліку.

Ділення рахує порції шляху

За першу секунду корабель проходить 10 км, за другу — ще 10 км. За 100 секунд він подолає 1 000 км. Питання «скільки триватиме подорож?» тепер означає: скільки порцій по 10 км міститься у 300 000 км? Таких порцій 30 000. Кожна відповідає одній секунді, тому й час становить 30 000 секунд.

Позначимо довжину шляху літерою $d$ , сталу швидкість — $v$ , а тривалість руху — $t$ . За час $t$ корабель проходить $v\cdot t$ ; отже, $d=v\cdot t$ . Щоб дізнатися час, ділимо шлях на кількість кілометрів за секунду:

t=\frac{d}{v}.

Формула стисло записує ту саму думку про однакові порції. Одиниці визначають одиницю відповіді: кілометри, поділені на кілометри за секунду, дають секунди. Якщо швидкість задана в кілометрах за годину, відповідь буде в годинах.

Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити

Як секунди перетворюються на 8 годин 20 хвилин

Підставмо значення й окремо перевірмо одиниці:

\begin{aligned} t&=\frac{300\,000\ \mathrm{km}}{10\ \mathrm{km/s}},\\ t&=30\,000\ \mathrm{s}. \end{aligned}

У діленні на дріб його знаменник переходить у чисельник. Тому одиниці скорочуються так:

\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km/s}} =\frac{\mathrm{km}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{km}} =\mathrm{s}.

Одна хвилина має 60 секунд. Тож 30 000 с — це 500 хвилин: 8 повних годин і ще 20 хвилин. Перевірка у зворотний бік:

\begin{aligned} 8\cdot3600&=28\,800,\\ 20\cdot60&=1\,200,\\ 28\,800+1\,200&=30\,000. \end{aligned}

Можна спочатку перевести 10 км/с у 36 000 км/год і поділити 300 000 на 36 000. Отримаємо $8\frac{1}{3}$ години. Третина години — 20 хвилин, а не 33 хвилини: десяткові частки години треба множити на 60, а не читати як хвилини.

Швидше — менше порцій часу; далі — більше

Якщо той самий шлях долати по 20 км щосекунди, кожна секунда «закриватиме» вдвічі більшу частину дороги. Секунд знадобиться вдвічі менше: 15 000, тобто 4 год 10 хв. Якщо натомість залишити 10 км/с, але подвоїти шлях, потрібно буде вдвічі більше часу: 16 год 40 хв.

Порівняйте ці випадки. Смуга показує час за спільною шкалою; довша смуга не означає швидший корабель.

Одна модель, три подорожі

Спершу передбачте: як зміниться час, якщо подвоїти лише швидкість або лише відстань?

Початковий приклад

Задана довжина шляху: 300 000 км
Стала швидкість: 10 км/с
Розрахований час: 8 год 20 хв

Опорний час

Удвічі більша швидкість

Задана довжина шляху: 300 000 км
Стала швидкість: 20 км/с
Розрахований час: 4 год 10 хв

Половина часу

Удвічі більша відстань

Задана довжина шляху: 600 000 км
Стала швидкість: 10 км/с
Розрахований час: 16 год 40 хв

Удвічі більше часу

Спільна шкала смуг: від 0 до 16 год 40 хв.

Смуги порівнюють час, а не довжину траєкторій. Це вигадані прямі маршрути зі сталими швидкостями, нерухомими кінцями в одній системі відліку, без розгону, гальмування та гравітаційного викривлення. Числа — результати t = d/v, не тривалість реальних місій. Джерело зв’язку: OpenStax · 2.2.

Ці залежності працюють за незмінних інших умов. Подвоєння швидкості не означає, що реальну місію можна без інших змін зробити вдвічі коротшою: спочатку треба пояснити, звідки береться нова швидкість і яким шляхом летітиме апарат.

Є й межа самої операції. За $v=0$ корабель не подолає додатну відстань; ділення на нуль не дає часу прибуття. Від’ємне число також не підходить для $v$ у цій формулі: тут це величина швидкості без напрямку, а не її проєкція на вісь. Якщо шлях дорівнює нулю й $v>0$ , формула дає нуль часу — у моделі долати вже нічого.

Повідомлення й корабель долають відстань за різний час

Підставивши швидкість світла замість швидкості корабля, отримаємо час поширення світлового сигналу у вакуумі. Це інше запитання. Світло проходить наші умовні 300 000 км приблизно за одну секунду; корабель зі швидкістю 10 км/с — за 8 год 20 хв.

Швидкість світла у вакуумі $c$ дорівнює точно 299 792 458 м/с, або 299 792,458 км/с. Тому сигналу на 300 000 км потрібно трохи більше секунди, а не рівно секунда. BIPM: визначення метра й точне значення $c$ .

Відгалуження · МасштабНеобов’язково · можна пропустити

Одна астрономічна одиниця: хвилини чи дні?

Астрономічна одиниця, позначення au, — одиниця довжини, що дорівнює точно 149 597 870,7 км. Це близько до характерної відстані Земля–Сонце, але не означає, що поточна відстань між ними завжди така. IAU: визначення au, резолюція 2012 B2.

Візьмімо вигаданий прямий шлях завдовжки 1 au, нерухомі кінці й сталу швидкість корабля 30 км/с у тій самій системі. Це дає:

\begin{aligned} t&=\frac{149\,597\,870{,}7}{30}\ \mathrm{s},\\ t&=4\,986\,595{,}69\ \mathrm{s}. \end{aligned}

Ділимо на 86 400 секунд у добі й отримуємо приблизно 57,7 доби. Світловий сигнал на ту саму фіксовану відстань потребує:

\begin{aligned} t&=\frac{149\,597\,870{,}7}{299\,792{,}458}\ \mathrm{s},\\ t&\approx499\ \mathrm{s}. \end{aligned}

Це близько 8 хв 19 с в один бік. Відповідь на повідомлення за нерухомих кінців без затримки обробки потребувала б ще одного проходження шляху. Жодне з цих чисел не є розрахунком польоту до Сонця чи іншої реальної цілі: 1 au тут задає лише довжину вправи. Ми також не обчислюємо покази власного годинника корабля у релятивістському польоті.

Чого бракує для справжнього польоту

Планета не чекає біля нерухомої фінішної позначки. Поки корабель летить, вона рухається орбітою. Апарат також рухається в гравітаційному полі: навіть із вимкненим двигуном його напрямок і швидкість можуть змінюватися. Міжпланетна траєкторія зазвичай є частиною орбіти навколо Сонця; її треба узгодити з майбутнім положенням цілі. NASA: траєкторії та зустріч із планетою.

Тому поточна відстань між планетами — не готова довжина майбутнього шляху, а найбільша швидкість апарата — не швидкість на всьому маршруті. Вихід на траєкторію, можливі маневри й гальмування для захоплення біля цілі залежать від обраної місії. Взяти одне число відстані та поділити його на рекорд швидкості недостатньо для часу прибуття.

Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити

А якщо підставити середню швидкість?

Середня швидкість за всю подорож — це повна довжина пройденого шляху, поділена на повний час. Якщо ці дві величини для тієї самої траєкторії й системи відліку вже відомі, співвідношення $t=d/v_{\mathrm{avg}}$ правильне й за змінної швидкості. OpenStax: середня та миттєва швидкість.

Але визначення не постачає відсутніх даних. Якщо час ще невідомий, середню швидкість треба обґрунтувати моделлю руху, а не вгадати за швидкістю на старті або піковим значенням. Звичайне середнє початкової та кінцевої швидкостей не є універсальним правилом.

Якщо подорож поділена на ділянки з відомими сталими швидкостями, можна розрахувати час кожної ділянки й додати ці часи. Для безперервної зміни швидкості потрібний докладніший опис руху. Перша формула залишається корисною, але інформацію про реальний шлях вона не замінює.

Перевірмо розуміння: у нашій моделі шлях подвоїли й швидкість теж подвоїли. Що буде з часом? Він залишиться 8 год 20 хв: шлях має вдвічі більше кілометрів, але кожна секунда долає вдвічі більше. Два ефекти компенсуються. Це вже перший приклад міркування пропорціями.

Щоб розрахувати час простого польоту, спочатку задаймо шлях, систему відліку й додатну сталу швидкість, узгодьмо одиниці та поділімо. Щоб розрахувати справжню місію, спершу треба дізнатися, як саме рухатиметься корабель. Для наступної власної вправи змініть лише відстань утричі: чи можете передбачити відповідь до ділення й потім перевірити її одиниці?