Imaginemos una nave que debe recorrer 300 000 kilómetros. Avanza 10 kilómetros cada segundo. Si dividimos 300 000 entre 10, obtenemos 30 000. Pero ¿30 000 qué: segundos, minutos u horas? ¿Y podemos calcular del mismo modo un viaje a Marte?
Si se fija la longitud del camino y la rapidez es constante y positiva, el tiempo es la distancia dividida entre la rapidez: t = d/v. En nuestro ejemplo son 30 000 segundos, es decir, 8 horas y 20 minutos. Es una respuesta para un modelo didáctico. Predecir la llegada de una nave real también exige conocer su trayectoria y cómo cambia su rapidez. OpenStax: distancia, rapidez y tiempo.
Primero acordemos qué viaje estamos calculando
En nuestro espacio imaginario hay dos marcas: salida y destino. Permanecen inmóviles entre sí en el sistema de referencia elegido, una manera de especificar posiciones y tiempo. En este ejercicio, el sistema no acelera. Su separación en línea recta es exactamente 300 000 km. Es un número inventado para el ejercicio, no la distancia actual a la Luna ni a otro cuerpo.
La nave vuela en línea recta entre ambas a una rapidez constante de 10 km/s, medida respecto a las marcas. El tiempo comienza cuando pasa por la salida con esa rapidez y termina al pasar por el destino. Omitimos la aceleración anterior a la salida y la parada posterior a la llegada. La gravedad no curva ni modifica este movimiento hipotético.
Distancia, rapidez y tiempo transcurrido deben pertenecer a un mismo sistema de referencia coherente. No podemos combinar un camino medido en el sistema del Sol con la rapidez de la nave respecto a la Tierra y esperar un resultado fiable. Las posiciones y el movimiento se describen siempre respecto a un sistema elegido. OpenStax: sistemas de referencia.
Dividir es contar porciones iguales del camino
En el primer segundo la nave recorre 10 km, y en el siguiente otros 10 km. En 100 segundos recorre 1 000 km. Ahora «¿cuánto durará el viaje?» significa: ¿cuántas porciones de 10 km caben en 300 000 km? Hay 30 000 porciones. Cada una corresponde a un segundo, así que el viaje dura 30 000 segundos.
Llamemos d a la longitud del camino, v a la rapidez constante y t al tiempo de viaje. Durante un tiempo t, la nave recorre v ⋅ t; por tanto, d = v ⋅ t. Para averiguar el tiempo, dividimos la longitud del camino entre los kilómetros recorridos por segundo:
t = (d)/(v).
La fórmula resume la misma idea de las porciones iguales. Las unidades determinan la unidad de la respuesta: kilómetros divididos entre kilómetros por segundo dan segundos. Si la rapidez está expresada en kilómetros por hora, la respuesta estará en horas.
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Cómo los segundos se convierten en 8 horas y 20 minutos
Sustituyamos los valores y comprobemos las unidades por separado:
t = (300 000 km)/(10 km/s),; t = 30 000 s.
Al dividir entre una fracción, su denominador pasa al numerador. Las unidades se simplifican así:
(km)/(km/s) = (km ⋅ s)/(km) = s.
Un minuto contiene 60 segundos. Por eso, 30 000 s equivalen a 500 minutos: 8 horas completas y otros 20 minutos. Comprobemos el resultado en sentido inverso:
8 ⋅ 3600 = 28 800,; 20 ⋅ 60 = 1 200,; 28 800 + 1 200 = 30 000.
También podemos convertir primero 10 km/s en 36 000 km/h y dividir 300 000 entre 36 000. Obtenemos 8(1)/(3) horas. Un tercio de hora son 20 minutos, no 33: las fracciones decimales de una hora deben multiplicarse por 60, en lugar de leerse como minutos.
Más rápido, menos segundos; más lejos, más segundos
Si la nave recorre 20 km cada segundo, en cada segundo completa el doble de camino. Necesita la mitad de segundos: 15 000, es decir, 4 h 10 min. En cambio, si mantenemos los 10 km/s y duplicamos el camino, necesitamos el doble de tiempo: 16 h 40 min.
Compara los casos. Cada barra representa tiempo en una escala común; una barra más larga no significa una nave más rápida.
Un modelo, tres viajes
Predice primero: ¿cómo cambia el tiempo si se duplica solo la rapidez o solo la distancia?
Ejemplo de referencia
- Longitud del camino fijada
- 300.000 km
- Rapidez constante
- 10 km/s
- Tiempo calculado
- 8 h 20 min
Tiempo de referencia
El doble de rapidez
- Longitud del camino fijada
- 300.000 km
- Rapidez constante
- 20 km/s
- Tiempo calculado
- 4 h 10 min
La mitad de tiempo
El doble de distancia
- Longitud del camino fijada
- 600.000 km
- Rapidez constante
- 10 km/s
- Tiempo calculado
- 16 h 40 min
El doble de tiempo
Escala común de las barras: de 0 a 16 h 40 min.
Estas relaciones se cumplen manteniendo las demás condiciones. Duplicar la rapidez no significa que podamos reducir a la mitad una misión real sin cambiar nada más: primero hay que explicar cómo se alcanza la nueva rapidez y qué camino seguirá la nave.
La propia operación tiene límites. Con v = 0, la nave no recorrerá una distancia positiva; dividir entre cero no proporciona una hora de llegada. Un número negativo tampoco sirve como v aquí: representa la rapidez escalar, sin dirección, no una componente de la velocidad sobre un eje. Si el camino es cero y v > 0, la fórmula da tiempo cero: en el modelo no queda distancia por recorrer.
Un mensaje y una nave tardan tiempos distintos
Si sustituimos la rapidez de la nave por la de la luz, obtenemos el tiempo de propagación de una señal luminosa en el vacío. Es una pregunta diferente. La luz recorre nuestros 300 000 km hipotéticos en aproximadamente un segundo; una nave a 10 km/s tarda 8 h 20 min.
La rapidez de la luz en el vacío, c, es exactamente 299 792 458 m/s, es decir, 299 792,458 km/s. Una señal tarda, por tanto, un poco más de un segundo en atravesar 300 000 km, no exactamente un segundo. BIPM: definición del metro y valor exacto de c.
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Una unidad astronómica: ¿minutos o días?
La unidad astronómica, símbolo au, es una unidad de longitud equivalente a exactamente 149 597 870,7 km. Se aproxima a la distancia característica Tierra–Sol, pero eso no significa que su separación actual tenga siempre ese valor. IAU: definición de la au, resolución 2012 B2.
Tomemos un camino recto hipotético de 1 au, con extremos inmóviles y una nave a una rapidez constante de 30 km/s en el mismo sistema. Así obtenemos:
t = (149 597 870,7)/(30) s,; t = 4 986 595,69 s.
Dividimos entre los 86 400 segundos de un día y obtenemos aproximadamente 57,7 días. Una señal luminosa que recorra la misma distancia fija necesita:
t = (149 597 870,7)/(299 792,458) s,; t ≈ 499 s.
Son unos 8 min 19 s en un sentido. Con extremos inmóviles y sin demora de procesamiento, una respuesta necesitaría recorrer el camino otra vez. Ninguna cifra calcula un vuelo al Sol ni a otro destino real: aquí 1 au solo fija la longitud del ejercicio. Tampoco calculamos lo que marcaría el reloj propio de una nave en un vuelo relativista.
Qué falta para calcular un vuelo real
Un planeta no espera junto a una marca de llegada inmóvil. Se desplaza por su órbita mientras la nave viaja. La nave también se mueve en un campo gravitatorio: incluso con el motor apagado, su dirección y su rapidez pueden cambiar. Una trayectoria interplanetaria suele ser parte de una órbita alrededor del Sol; debe coincidir con la posición futura del destino. NASA: trayectorias y encuentros con planetas.
Por tanto, la separación actual entre planetas no es la longitud ya determinada del camino futuro, y la rapidez máxima de la nave no es su rapidez durante todo el recorrido. La entrada en la trayectoria, las posibles maniobras y el frenado para quedar capturada en el destino dependen de la misión elegida. Dividir una distancia entre un récord de rapidez no basta para predecir la llegada.
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¿Y si usamos la rapidez media?
La rapidez media de todo el viaje es la longitud total recorrida dividida entre el tiempo total. Si esas dos cantidades de la misma trayectoria y del mismo sistema de referencia ya se conocen, t = d/v_(avg) es válido incluso cuando cambia la rapidez. OpenStax: rapidez media e instantánea.
Pero una definición no proporciona los datos que faltan. Si el tiempo es desconocido, la rapidez media debe justificarse con un modelo del movimiento, no adivinarse a partir de la rapidez inicial o máxima. La media aritmética de las rapideces inicial y final no es una regla universal.
Si el viaje se divide en tramos con rapideces constantes conocidas, podemos calcular el tiempo de cada tramo y sumar los tiempos. Cuando la rapidez cambia continuamente, hace falta una descripción más detallada del movimiento. Nuestra primera fórmula sigue siendo útil, pero no sustituye la información sobre el camino real.
Comprobemos la idea: en el modelo duplicamos tanto el camino como la rapidez. ¿Qué ocurre con el tiempo? Sigue siendo 8 h 20 min: hay el doble de kilómetros, pero en cada segundo se recorre el doble. Ambos efectos se compensan. Es un primer ejemplo de razonamiento con proporciones.
Para calcular un tiempo de viaje sencillo, fijamos primero el camino, el sistema de referencia y una rapidez constante positiva, igualamos las unidades y dividimos. Para calcular una misión real, primero debemos saber cómo se moverá la nave. Como siguiente ejercicio, triplica solo la distancia: ¿puedes anticipar el resultado antes de dividir y comprobar después sus unidades?