Tenemos 24 metros de bordillo para una pequeña parcela rectangular del jardín. Podemos hacerla larga y estrecha o más corta y ancha. Gastaremos lo mismo en el borde. ¿Habrá también el mismo espacio dentro?
No: un rectángulo de 10 por 2 metros encierra 20 metros cuadrados; uno de 7 por 5, 35. Lo comprobaremos con un dibujo y operaciones sencillas. Pero lo interesante no es solo la respuesta. Un ejemplo permite ver cómo la matemática ayuda a formular preguntas, construir modelos y explicar por qué confiar en una conclusión.
Primero decidamos qué problema resolvemos
«¿Cómo conviene colocar la parcela?» admite muchas respuestas. Pueden importar el acceso, la comodidad para trabajar o la cercanía de un camino. Empecemos por una pregunta más concreta: ¿cuál de los rectángulos propuestos ofrece más área con la misma longitud de borde?
Imaginemos una superficie plana y un rectángulo completo. Sus ángulos son rectos, como la esquina de una hoja, y sus lados opuestos son iguales. Todo el bordillo rodea los cuatro lados, sin puertas, obstáculos ni huecos. Ignoramos el grosor del material y lo necesario para las uniones: en el plano, el borde es una línea fina. Consideramos exactas las longitudes dadas.
Son nuestros supuestos, las condiciones que sostienen la respuesta. Los elegimos para aislar la relación entre forma y área. Todas las dimensiones son imaginarias, no mediciones de una parcela real.
Pasar a magnitudes, figuras geométricas y relaciones entre ellas crea un modelo matemático de la situación. También debemos comprobar si la conclusión tiene sentido para la pregunta inicial. Estos elementos se explican en la guía GAIMME de SIAM y COMAP, capítulo 1.
Longitud del borde y espacio interior
Recorramos el rectángulo de 10 por 2 metros. Sumamos los cuatro lados: 10 + 2 + 10 + 2 = 24 metros. La longitud total del borde de una figura es su perímetro. Esa es la cantidad de bordillo necesaria en nuestro modelo.
Para contar el espacio interior, imaginemos cuadrados de 1 metro de lado. Cada uno tiene 1 metro cuadrado de área, abreviado 1 m². En el rectángulo alargado caben dos filas de diez cuadrados: 10 × 2 = 20 m². Multiplicar abrevia el recuento de filas iguales.
Tomemos ahora lados de 7 y 5 metros. El borde mide 7 + 5 + 7 + 5 = 24 metros; dentro hay cinco filas de siete cuadrados: 7 × 5 = 35 m². La misma diferencia entre medida lineal y cuadrada se explica en OpenStax, Prealgebra 2e, §9.4.
Los dibujos usan la misma escala. Compara tanto el contorno como el número de celdas: responden a preguntas distintas.
El mismo borde, distinto espacio interior
10 m × 2 mPerímetro: 24 mÁrea: 20 m²
7 m × 5 mPerímetro: 24 mÁrea: 35 m²
La segunda opción ofrece 15 m² más, porque 35 − 20 = 15. Ya podemos comprobar la conclusión de dos maneras: contar celdas o multiplicar el número de filas por los cuadrados de cada fila.
Qué hay de matemático además de multiplicar
La multiplicación dio un número. Antes tuvimos que distinguir dos magnitudes, elegir condiciones y decidir cómo comparar opciones. Después explicamos por qué el recuento respondía a la pregunta sobre el área.
La matemática estudia cantidades, formas, estructuras y patrones, y busca justificar afirmaciones sobre ellos. Es una orientación útil para conocer el campo. También comprende cambios de magnitudes, datos e incertidumbre. Por ejemplo, el marco educativo de matemáticas de PISA de la OCDE distingue cantidad, espacio y forma, cambio y relaciones, e incertidumbre y datos.
Las preguntas pueden superar una necesidad práctica inmediata: ¿qué propiedades tiene una estructura?, ¿qué afirmaciones se deducen de unas reglas? Investigar eso también es matemática. El problema del bordillo simplemente nos da una entrada concreta.
Ya vemos una relación: la longitud del borde puede mantenerse mientras el área cambia. Para explorar otras medidas resulta cómodo escribirla de forma más breve.
Las letras aparecen cuando ahorran trabajo
Llamemos a y b a las longitudes de dos lados contiguos, P al perímetro y S al área. Los lados y el perímetro se miden en metros; el área, en metros cuadrados. Las letras a y b son variables: podemos elegir valores distintos al comparar rectángulos.
Por ejemplo, en la parcela ancha a = 7 m y b = 5 m. La letra no esconde una operación nueva: permite hablar de un lado sin fijar todavía su longitud. Ese uso de variables se explica en OpenStax, §2.1.
Los cuatro lados forman dos pares iguales. De ahí la expresión breve:
Primero sumamos los lados contiguos dentro del paréntesis. Después multiplicamos por 2 porque el par se repite. Para 7 y 5 metros: 2 × (7 m + 5 m) = 2 × 12 m = 24 m.
La del área es aún más corta:
Aquí ab significa a multiplicado por b. Sustituimos: 7 m × 5 m = 35 m². Es el mismo recuento de filas de cuadrados que ya hicimos. Las fórmulas aparecen en OpenStax, §9.4.
El signo = indica que ambos lados expresan el mismo valor. «7 + 5 = 12» y «12 = 7 + 5» son igualmente correctos. En este problema una fórmula describe de forma compacta una relación entre magnitudes.
Dibujo, tabla y fórmula hablan de lo mismo
Con un perímetro de 24 metros, dos lados contiguos suman 12 metros: el mismo par se repite enfrente. Podemos elegir un lado y asignar al otro lo que falta hasta 12.
Comparemos varias opciones:
| Lado a, m | Lado b, m | Perímetro P, m | Área S, m² |
|---|---|---|---|
| 10 | 2 | 24 | 20 |
| 8 | 4 | 24 | 32 |
| 7 | 5 | 24 | 35 |
| 6 | 6 | 24 | 36 |
La fila de 7 y 5 corresponde al segundo dibujo. Para 8 y 4 podemos imaginar cuatro filas de ocho cuadrados o sustituir en la fórmula: 8 × 4 = 32 m². La tabla facilita comparar resultados; el dibujo muestra de dónde salen.
En estas opciones los lados se acercan en longitud y el área crece. La mayor área entre las opciones mostradas es 36 m². El cuadrado de 6 por 6 metros también es un rectángulo: todos sus ángulos son rectos y sus lados opuestos son iguales; además, sus lados contiguos también lo son.
Pero solo comprobamos unas pocas medidas. Otras pueden incluir medios metros o fracciones menores. «¿Qué es lo mayor de esta tabla?» y «¿Qué es lo mayor entre todas las figuras posibles?» necesitan justificaciones distintas.
Cuándo basta un ejemplo y cuándo hace falta demostrar
El patrón de la tabla puede sugerir una conjetura, una afirmación aún pendiente de justificación. Para demostrarla para todas las medidas permitidas necesitamos un razonamiento que abarque todos esos casos. Añadir filas por sí solo no lo proporciona.
Compáralo con la fórmula del perímetro. En cualquier rectángulo los lados opuestos son iguales. Recorrer el borde da a + b + a + b. Agrupar los dos pares produce 2(a + b). Como no usamos números particulares, el razonamiento funciona para longitudes positivas cualesquiera. Es una breve justificación general basada en propiedades de la figura.
Un ejemplo tiene otra utilidad. «El mismo perímetro siempre implica la misma área» ya queda refutado por nuestras dos parcelas: cumplen la condición, pero tienen áreas diferentes. Es un contraejemplo. Para refutar «siempre» basta un caso contradictorio.
La diferencia entre demostración general y refutación mediante un contraejemplo se explica en Book of Proof de Richard Hammack, §4.3 y §9.1. Para nuestro problema basta la conclusión comprobada: 7 por 5 metros encierran más espacio que 10 por 2. Aquí no demostramos qué forma es mejor entre todas las posibles.
Qué cambia en una parcela real
Un rectángulo ideal con lados de exactamente 7 y 5 metros tiene exactamente 35 m². Pero medir «unos 7 metros» ya no fija la longitud con exactitud. Si los ángulos no son rectos, necesitamos otro modelo geométrico. Si el bordillo tiene grosor apreciable, hay que aclarar si los 7 y 5 metros siguen su borde interior o exterior.
El cálculo sigue siendo correcto para las condiciones dadas. Ahora toca comprobar cuánto se ajustan esas condiciones al objeto real. Por eso GAIMME, pp. 12–13 y 18 incluye analizar el resultado y revisar los supuestos como partes del modelado.
También puede cambiar la pregunta. Si hace falta un camino, la mayor área total no garantiza el mayor espacio útil. Podemos añadirlo al plano y calcular aparte el área disponible. Así ampliamos el modelo según lo que realmente queremos saber.
La respuesta exacta resulta útil junto con sus condiciones: «35 m² suponiendo un rectángulo completo de 7 por 5 metros». Así entendemos tanto la fuerza de la conclusión como sus límites.
Las herramientas se eligen según la pregunta
En un solo problema usamos varias herramientas matemáticas. Están relacionadas y pueden servir en otras situaciones.
| Campo | Qué preguntas ayuda a plantear y resolver |
|---|---|
| Aritmética | ¿Cuánto en total, qué diferencia, cuántas partes iguales? Así contamos borde y celdas. |
| Geometría | ¿Qué forma, distancias y áreas? También relaciona planos o mapas con el espacio. |
| Álgebra | ¿Cómo expresar relaciones y hallar incógnitas? Una fórmula describió medidas distintas. |
| Estadística y probabilidad | ¿Qué muestran los datos, cuánto varían y qué sigue siendo incierto? Por ejemplo, cómo evaluar un sistema en muchos casos. |
| Cálculo | ¿Cómo cambian y se acumulan las magnitudes? Por ejemplo, cómo se relacionan velocidad y distancia recorrida. |
Es un mapa breve, no una división completa del campo. Algunos problemas de programación o ciencia requieren varios campos a la vez. Un primer problema concreto puede entenderse con operaciones accesibles y un dibujo; introducimos herramientas nuevas cuando hacen falta.
Cómo abordar el siguiente problema
La matemática nos llevó de «¿qué conviene más?» a una conclusión con condiciones y explicación. Elegimos un rectángulo ideal, distinguimos borde y área, comprobamos dos opciones y encontramos que, con los mismos 24 metros de bordillo, 7 por 5 metros encierran 15 m² más que 10 por 2.
Para otra pregunta podemos empezar así:
- ¿Qué sé y qué quiero encontrar? Nombrar magnitudes y unidades.
- ¿Qué consideraré esencial? Explicitar los supuestos y las simplificaciones.
- ¿Qué representación ayudará? Dibujo, tabla y fórmula muestran facetas distintas de una relación.
- ¿Por qué se deduce la conclusión? Comprobar operaciones, unidades y razonamiento; después volver a la situación inicial.
Dibuja en papel un rectángulo de 8 por 4 metros, usando cada celda como un cuadrado de 1 por 1 metro. Antes de contar, estima si superará 20 m². Después comprueba: cuatro filas de ocho dan 32 m², y recorrer 8 + 4 + 8 + 4 da los mismos 24 m. Dibujo, recuento y fórmula deben contar la misma historia.