Coloque un transportador sobre una línea inclinada en la foto de un tejado: el resultado cambia cuando el fotógrafo rodea la casa. ¿Cómo hallar la inclinación real? Primero elegimos el ángulo espacial y después el plano donde medirlo. En nuestro modelo basta un triángulo rectángulo.
¿Qué ángulo buscamos?
Requisitos: trigonometría del triángulo rectángulo, rectas y planos, perpendicular, segmento oblicuo y proyección.
El ángulo entre dos rectas no orientadas es el menor ángulo entre sus direcciones, de 0° a 90°. Para rectas paralelas o coincidentes vale 0°. Si las rectas se cruzan sin cortarse, trazamos paralelas a ellas por un mismo punto y medimos su ángulo. La traslación conserva las direcciones. Así, dos rectas que se cruzan pueden formar 90° sin encontrarse; «perpendiculares» puede referirse aquí a esa perpendicularidad de direcciones.
El ángulo vectorial de G021 es distinto: las flechas fijan una orientación y su ángulo puede alcanzar 180°. Las rectas no llevan flechas: 40° y 140° dan el mismo ángulo menor de 40°.
El ángulo entre una recta y un plano es el de la recta con su proyección ortogonal. Vale 0° para una recta contenida en el plano o paralela a él. Para una normal vale 90°; su proyección es un punto, así que definimos ese caso aparte. Una recta cualquiera del suelo no sustituye a la proyección.
El tejado: elegir la sección correcta
Definamos un tejado ideal propio: alero horizontal y faldón plano. Al alejarnos 2,4 m horizontalmente del alero, en dirección perpendicular al alero, la altura aumenta 1,8 m. El segmento inclinado correspondiente mide √(2,4²+1,8²)=3 m. Es un modelo, no una medición de una construcción real.
Dos semiplanos con una recta límite común forman un ángulo diedro. Su arista es el alero. Cortemos ambas caras con un plano perpendicular a la arista: el ángulo entre las semirrectas resultantes es el ángulo rectilíneo del diedro. Cada semirrecta debe ser perpendicular a la arista en su propia cara. Una sección oblicua arbitraria no sirve.
Sección transversal al alero
Ángulo real en el plano de sección
Por la definición de tangente en la sección correcta:
tanθ = (1,8)/(2,4) = 0,75, θ ≈ 36,87°.
Es tanto la inclinación del faldón respecto al plano horizontal como el ángulo del segmento transversal mostrado con su proyección horizontal. Una pendiente del 75% significa subida dividida por recorrido horizontal, multiplicada por 100%; no significa un ángulo de 75°. La subida dividida por la longitud inclinada da el seno: 1,8/3=0,6.
En un tejado simétrico a dos aguas, el ángulo interior bajo la cumbrera es 180°−2θ≈106,26°. El menor ángulo entre los dos planos completos de los faldones es aproximadamente 73,74°. Por eso hay que identificar los semiplanos: un diedro puede ser obtuso, mientras que el ángulo entre planos se toma por convenio entre 0° y 90°.
Cuándo son perpendiculares los planos
Si el ángulo rectilíneo vale 90°, los planos son perpendiculares. Un criterio útil: un plano que contiene una recta perpendicular a otro plano es perpendicular a ese plano. Así, una sección vertical es perpendicular al suelo horizontal.
Esto no hace que toda recta de un plano sea perpendicular a toda recta del otro. En dos paredes podemos elegir rectas paralelas a su arista vertical común: serán paralelas entre sí.
Distancia: el camino permitido más corto
Para las rectas y planos considerados aquí, la distancia es la menor longitud de un segmento que une puntos de las figuras. Un punto común da distancia 0; ampliar el dibujo no crea un «hueco».
- De un punto a una recta o plano: longitud de la perpendicular; 0 si el punto pertenece a la figura.
- Entre planos paralelos: longitud de una perpendicular común. Entre el suelo y un plano paralelo a 2,2 m de altura hay 2,2 m.
- De una recta paralela a un plano: distancia desde cualquier punto de la recta. Si la recta corta el plano o está en él, la distancia es 0.
- Entre rectas paralelas: longitud de una perpendicular común; entre rectas secantes: 0.
Los límites de la figura importan. El pie perpendicular sobre una recta infinita puede quedar fuera de un segmento; entonces el punto más cercano del segmento será un extremo. Asimismo, la distancia a un plano no siempre coincide con la distancia a una zona limitada del tejado.
Detalle opcionalSe puede continuar el recorrido principal sin este cálculo.
Rama · Rectas que se cruzan
Imaginemos una recta horizontal a y otra recta horizontal b situada 2 m más arriba, con dirección perpendicular a la de a. Sus proyecciones en el suelo se cortan en H. El punto K sobre H pertenece a b, y H pertenece a a. El segmento HK, de 2 m, es perpendicular a ambas rectas.
Si nos alejamos r de H por a y s de K por b, dos aplicaciones de Pitágoras dan el cuadrado de la distancia r²+s²+4≥4. El mínimo de 2 m solo se alcanza cuando r=s=0. Es nuestro ejemplo de perpendicular común a dos rectas que se cruzan. En general existe y es única; un segmento arbitrario que une las rectas no es esa perpendicular.
Primero elegimos direcciones, proyección o sección y después calculamos. El ángulo de una foto o una distancia oblicua arbitraria no sustituyen esas construcciones.
Fuentes y límites
Las definiciones y los casos de distancia se contrastaron con el manual de geometría de Ister para el curso 10, §§10–12. Verificación adicional: Euclides XI, definiciones 6–8, sección perpendicular a la arista; XI.18, criterio de perpendicularidad de planos. Las cifras, el tejado y el argumento del mínimo son modelos didácticos propios; no evaluamos cargas, resistencia ni normativa de construcción.