Tema opcional del curso. Puedes omitirlo en la ruta principal. Bastan el cuadrado de una suma y las sucesiones aritméticas.
Las baldosas forman cuadrados: una, luego tres más y luego cinco. La inducción matemática demuestra una afirmación para cada paso natural estableciendo un primer caso y el paso seguro al siguiente. Comprobar cien ejemplos no sustituye ese paso.
Qué vamos a demostrar
Aquí los naturales son enteros n≥1. Nuestra afirmación P(n) es:
1 + 3 + ⋯ + (2n − 1) = (n)^(2) (n = 1,2,3,…).
Sumamos los primeros n impares; el último término es 2n−1. Para n=3: 1+3+5=9.
Base: un punto de partida
Con n=1 el lado izquierdo vale 1 y el derecho 1²=1. Se cumple P(1). Sin base, la cadena podría no tener ningún eslabón establecido.
Hipótesis: un paso arbitrario
Toma cualquier entero k≥1 y supón P(k):
1 + 3 + ⋯ + (2k − 1) = (k)^(2).
No declaramos que la fórmula ya sea cierta para todo k. Demostramos un vínculo condicional: si vale en este paso, vale en el siguiente.
Paso: sumar el siguiente impar
Después de 2k−1 viene 2k+1. Por la hipótesis sustituimos la suma anterior por k² y usamos el cuadrado de una suma:
1 + 3 + ⋯ + (2k − 1) + (2k + 1) = (k)^(2) + 2k + 1 = ((k + 1))^(2).
Es exactamente P(k+1). El cálculo funciona para todo k≥1. Base y paso implican P(n) para todo n≥1 por inducción. Principio y justificación, MIT, p. 3.
De 3² a 4²
El dibujo muestra 3²+7=4²: el borde nuevo contiene 3+3+1 baldosas. Ayuda a entender el término 2k+1; el argumento con k arbitrario demuestra la generalidad.
Cómo falla una supuesta prueba
Afirmación falsa: todos los enteros positivos son impares. Base: 1 es impar. Si k es impar, k+2 también. ¿Por qué falla? Se salta números: desde la base alcanzamos 1,3,5,…, pero nunca 2. El 2 es un contraejemplo.
La ruta consecutiva necesita k→k+1. Un paso +2 solo cubriría todos los enteros con bases adecuadas separadas para ambas paridades; aquí la base 2 ya falla. Tampoco podemos usar P(k+1) como un hecho conocido durante el paso: sería circular.
Comprueba que la prueba tenga dominio claro, base dentro de él, una hipótesis P(k), paso al siguiente caso sin condiciones extra no demostradas y conclusión por inducción.