Tema opcional del curso. Usamos raíces cuadradas, círculo unitario e identidades de suma. Los conceptos geométricos se explican aquí; no hace falta otro curso de geometría.
En la recta real x²+1=0 no tiene solución. Los complejos amplían los reales: introducimos i con i²=−1 y escribimos a+bi. Tanto i como −i satisfacen la ecuación.
i^2=-1,\qquad z=a+bi\quad(a,b\in\mathbb R).
La parte real es a; la imaginaria es el coeficiente real b, no todo bi. Dos números son iguales si coinciden ambas partes. Con b=0 recuperamos un real. Imaginario es un nombre, sin juzgar la realidad del objeto.
Aritmética con una regla nueva
Sumamos coordenadas; al multiplicar desarrollamos paréntesis y sustituimos i² por −1:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Por ejemplo, (1+2i)+(3−i)=4+i y (1+2i)(3−i)=5+5i. La resta también se hace por coordenadas. Las potencias de i se repiten: i,−1,−i,1 y otra vez i. OpenStax
El conjugado de a+bi es a−bi. Su producto a²+b² es real y positivo para un número no nulo. Para dividir, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:
(1 + 2i)/(1 − i) = ((1 + 2i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i)) = ( − 1 + 3i)/(2).
No se puede dividir entre 0; para c+di≠0 el denominador c²+d² es positivo. Comprobación: ((−1+3i)/2)(1−i)=1+2i.
Plano, longitud y ángulo
Representamos a+bi por el punto (a,b). El eje horizontal es real; el vertical, imaginario. El módulo es la distancia al origen: su cuadrado es la suma de cuadrados de los segmentos coordenados perpendiculares.
Para z no nulo, su dirección desde el eje real positivo define un argumento φ en radianes. Los ángulos φ+2πk, con k entero, dan la misma dirección. El cero tiene módulo 0, pero argumento indefinido.
∣z∣ = √((a)^(2) + (b)^(2)), z = r(cosφ + isinφ), r = ∣z∣ > 0.
Es la forma trigonométrica o polar. Como a=r cos φ y b=r sin φ, los coeficientes recuperan el número original. Módulo y forma polar.
Multiplicar cambia escala y dirección
Para dos números no nulos, las identidades de suma de seno y coseno dan:
z_(1)z_(2) = r_(1)r_(2)[cos(φ_(1) + φ_(2)) + isin(φ_(1) + φ_(2))].
Los módulos se multiplican y los argumentos se suman salvo vueltas completas. Multiplicar por i, de módulo 1 y argumento π/2, gira un cuarto de vuelta en sentido antihorario sin cambiar la distancia:
i(1 + 2i) = − 2 + i, ∣1 + 2i∣ = ∣ − 2 + i∣ = √(5).
Multiplicar por i
z=1+2i → iz=−2+i
Multiplicar por 2i daría el mismo giro y duplicaría la distancia. Multiplicar por cero lleva todo al origen, donde la dirección queda indefinida. La aritmética compleja conecta coordenadas con longitudes y ángulos; la recta real sigue dentro de este plano.
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Potencias y todas las raíces complejas
La multiplicación repetida da la fórmula de De Moivre para n entero positivo:
(z)^(n) = (r)^(n)[cos(nφ) + isin(nφ)] (n = 1,2,3,…).
A la inversa, wⁿ=z para z no nulo tiene n raíces complejas distintas:
w_(k) = (r)^(1/(n))[cos((φ + 2πk)/(n)) + isin((φ + 2πk)/(n))], k = 0,…,n − 1.
Aquí n≥1 es entero, r>0 y la raíz de r es real positiva. Las vueltas completas antes de dividir el ángulo generan direcciones distintas. Para z=1 y n=3 son 1 y −1/2±i√3/2; cada una al cubo da 1. Para z=0 solo queda w=0. La única raíz cúbica real y todas las raíces complejas son convenciones distintas. Potencias y raíces, OpenStax §10.5.