Dos vigas a distintas alturas no se tocan. En una fotografía sus direcciones incluso pueden cruzarse. ¿Son paralelas? En el plano bastaba decir que dos rectas distintas no se cortan; en el espacio hace falta otra condición.
Dos rectas distintas del espacio son paralelas si están en un plano común y no se cortan. Si no existe plano común, son alabeadas. Un dibujo plano no permite decidirlo por sí solo: necesitamos datos sobre la figura espacial. Retomamos axiomas y demostración, rectas paralelas y paralelogramos.
El plano continúa más allá del borde dibujado
Punto, recta y plano son objetos básicos de la geometría espacial. El plano es llano, ilimitado y sin grosor. Un paralelogramo dibujado muestra solo una parte, no cuatro bordes reales. Igualmente, una arista del cubo es un segmento; la recta AB se prolonga más allá de ambos extremos.
En el modelo euclídeo usamos estos supuestos iniciales:
- Tres puntos no alineados determinan un plano y solo uno.
- Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, toda la recta pertenece a él.
- Dos planos distintos con un punto común se cortan en una recta que pasa por ese punto.
- Para cada plano existen puntos que pertenecen a él y puntos exteriores.
Son axiomas del modelo, no medidas de la ilustración. Una mesa ayuda a imaginarlo, pero su contorno y grosor no pertenecen al plano ideal. AMSI, puntos, rectas y planos.
Determinar un plano único
Tres puntos alineados no bastan: por su recta pasan infinitos planos, como al girar alrededor de ella. Un plano queda determinado por tres puntos no alineados, una recta y un punto exterior a ella, dos rectas secantes o dos rectas paralelas distintas.
Por ejemplo, tomamos A,B en la recta AB y C fuera de ella. El primer axioma da un plano único por A,B,C; el segundo asegura que contiene toda AB. La demostración explica el método sin añadir una regla desconectada.
Tres casos para rectas distintas
Usamos el cubo ABCDA₁B₁C₁D₁. A,B,C,D recorren ordenadamente la cara inferior; cada vértice superior está sobre el inferior correspondiente. Las caras son cuadrados, por lo que sus lados opuestos son paralelos.
AB y CD paralelas
Intersección en B
AB y CC₁ alabeadas
Rectas y planos α, β
AB y CD están en el plano inferior y no se cortan: son paralelas. AB y BC comparten B: son secantes. AB y CC₁ no tienen plano común: son alabeadas. Dos nombres de la misma recta indican coincidencia, un caso aparte de los tres para rectas distintas. Purdue, posiciones de rectas.
¿Por qué AB y CC₁ no pueden pertenecer a un plano común? Ese plano contendría AB y C, por lo que sería el plano inferior ABC. Entonces contendría también C₁, que está fuera del plano inferior: contradicción. La unicidad del plano aporta la prueba; la apariencia del dibujo no basta.
Recta y plano: ningún punto, uno o todos
Llamamos α al plano superior y β al inferior. AB pertenece a β. AA₁ corta β únicamente en A. AB no tiene puntos comunes con α, luego es paralela a α. En nuestra terminología, una recta contenida en un plano no se llama paralela a ese plano.
Criterio: si l no está contenida en α y es paralela a alguna recta m de α, entonces l∥α. En el cubo AB∥A₁B₁ y A₁B₁ pertenece a α. La condición «l no está contenida en α» es esencial: dentro de un plano también hay rectas paralelas, pero comparten con él todos sus puntos.
AB∥A_(1)B_(1), AB∥α, AB⊂β.
Dos planos y dos pares de direcciones
Dos planos distintos o no tienen puntos comunes y son paralelos, o se cortan en una recta. Si coinciden, tenemos un plano con dos nombres. α y β del cubo son paralelos. El plano frontal ABB₁A₁ corta al inferior en AB.
Para demostrar el paralelismo de planos distintos, basta encontrar dos rectas secantes de uno respectivamente paralelas a dos rectas del otro. Para β y α usamos AB∥A₁B₁ y AD∥A₁D₁. Dos direcciones secantes determinan un plano.
Una sola pareja no basta: CD de la cara inferior es paralela a A₁B₁ de la frontal, pero sus planos se cortan en AB. Un plano secante corta dos planos paralelos según rectas paralelas. Si estas tuvieran un punto común, pertenecería a ambos planos paralelos, algo imposible.
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De rectas paralelas a un plano paralelo
Sea l∥m, con m contenida en α y l no contenida en α. El plano γ por l y m es distinto de α; se cortan en m. Si l cortase α en X, X pertenecería también a γ y por tanto a m. Pero las paralelas l,m no tienen puntos comunes. Luego l no corta α.
Qué no revela la perspectiva
En una imagen plana, rectas alabeadas pueden parecer secantes. Una recta puede salir del fragmento dibujado del plano y seguir perteneciendo a él. No medimos ángulos espaciales ni longitudes reales de aristas en este dibujo. Primero establecemos puntos y planos comunes a partir de los datos; después usamos la imagen para explicar esas relaciones.