Dos series de tareas tardaron diez minutos de media. ¿Fue su duración igual de predecible? La media describe el centro; la dispersión, las distancias respecto a él. Se necesitan ambas. Usamos raíces, esperanza y datos muestrales.
Tomamos tiempos didácticos inventados, en minutos: A=[9,10,10,10,11], B=[6,8,10,12,14]. Cada conjunto tiene cinco valores que suman 50.
Tres maneras de situar el centro
La media aritmética divide la suma entre el número de datos. La llamaremos m:
m = (x_(1) + ⋯ + x_(n))/(n).
En ambos m=10 min. Describe los datos disponibles; no establece la esperanza de un proceso desconocido. Si elegimos uniformemente uno de los cinco registros, la esperanza de ese modelo definido aparte coincide con m.
La mediana de números ordenados es el valor central si su cantidad es impar; si es par, la media de los dos centrales. En [8,9,11,20] vale (9+11)/2=10, pero la media es 12. A y B tienen mediana 10.
La moda es el valor más frecuente: 10 en A. En B todos aparecen una vez; ninguno destaca por frecuencia. Puede haber varias modas; indica la convención usada en empates. Medidas del centro.
A · cinco valores
9,10,10,10,11
B · cinco valores
6,8,10,12,14
¿Qué distancia hay al centro?
El rango es máximo menos mínimo: 2 min en A y 8 en B. Solo usa los extremos. Para todas las desviaciones respecto a m calculamos la varianza descriptiva de estos n números y su raíz:
D = (1)/(n)((∑)_(i = 1))^(n)((x_(i) − m))^(2), σ = √(D).
Las desviaciones ordinarias suman cero incluso con datos dispersos; los cuadrados impiden cancelar signos. D se mide en min²; σ recupera los minutos.
D_(A) = (1 + 0 + 0 + 0 + 1)/(5) = 0.4, D_(B) = (16 + 4 + 0 + 4 + 16)/(5) = 8.
Así, σ_A=√0.4≈0.6325 min y σ_B=√8≈2.8284 min. Mide dispersión; no garantiza que todo valor esté a menos de σ de la media. OpenStax
¿Por qué a veces se divide entre n−1?
Para estimar la varianza poblacional desde una muestra independiente e idénticamente distribuida con varianza finita, se usa el estimador corregido:
(s)^(2) = (1)/(n − 1)((∑)_(i = 1))^(n)((x_(i) − m))^(2) (n > 1).
Con los mismos números, s²_A=2/4=0.5 min² y s²_B=40/4=10 min². Responde a otra pregunta que D con divisor n; indica qué convención usas. La corrección no elimina el sesgo de selección de A046. Varianza muestral, NIST.
Por último cambia solo 14 por 50 en B: la media pasa a 17.2 y la mediana sigue en 10. Revisa los extremos en contexto, sin borrarlos automáticamente. Informa cantidad, centro, dispersión, unidades y recogida: un solo número no lo contiene todo.