La calculadora da arcsin(1/2)=π/6. ¿Por qué hay más cruces del nivel? Una inversa devuelve un ángulo principal; una ecuación exige todos. Usamos transformaciones, inversas e identidades.

Elegir la rama inversa

Una inversa pregunta qué ángulo tiene un seno, coseno, tangente o cotangente dado. Restringimos el dominio original para que la respuesta sea única. Por ejemplo, arcsin a es el ángulo de [−π/2,π/2] cuyo seno vale a. Valores principales:

arcsin⁡a ∈ [ − π/2,π/2], arccos⁡a ∈ [0,π] (∣a∣ ≤ 1).

arctan⁡a ∈ ( − π/2,π/2), arccot⁡a ∈ (0,π) ( − ∞ < a < ∞).

Aquí arccot usa (0,π), como el libro local; otra convención necesita conversión. Arccos(−1/2)=2π/3, arctan1=π/4, arccot0=π/2. Sin⁻¹ en la calculadora significa arcsin, no 1/sin.

Todas las soluciones en radianes

En estas fórmulas k es cualquier entero:

sin⁡x = a: x = arcsin⁡a + 2πk o x = π − arcsin⁡a + 2πk.

cos⁡x = a: x = ± arccos⁡a + 2πk;

tan⁡x = a: x = arctan⁡a + πk; cot⁡x = a: x = arccot⁡a + πk.

La misma altura del círculo da x y π−x: dos familias para el seno. El coseno coincide en x y −x. Una vuelta añade 2π; tan/cot se repiten tras π. Para sin/cos, |a|>1 no tiene soluciones reales. En a=±1 algunas familias coinciden; no las cuentes dos veces. OpenStax

Un nivel, varios tiempos

sin(πt/3)=1/2

036912-101t, hy
Sin(πt/3) continua, nivel 1/2 discontinuo. Cuatro cruces en 0≤t<12: 0,5;2,5;6,5;8,5 h. Escalas uniformes, salida adimensional.

Para una señal hipotética de 6 horas:

sin⁡(πt/3) = 1/2 ⟺ t = 1/2 + 6k o t = 5/2 + 6k.

En 0≤t<12 quedan 0,5;2,5;6,5;8,5 horas. Aplica el intervalo temporal después de hallar todas las soluciones.

Transformar sin perder ángulos

sin⁡2x = sin⁡x ⟺ sin⁡x(2cos⁡x − 1) = 0.

Así x=πk o x=±π/3+2πk. Dividir entre sinx pierde la primera familia. Para sin²x−3sinx+2=0, la sustitución tiene recorrido restringido:

(u)^(2) − 3u + 2 = 0, u = sin⁡x ∈ [ − 1,1] ⇒ u = 1 ⇒ x = π/2 + 2πk.

Se excluye u=2. Conserva denominadores originales y recorridos; comprueba con la señal original, no solo con el polinomio transformado.