Un plano da las coordenadas de dos puntos opuestos de una parcela circular. ¿Podemos hallar el centro y comprobar si una nueva marca está en el contorno sin medir la pantalla con una regla? Traducimos condiciones geométricas a ecuaciones.
Las coordenadas indican posición; la ecuación de una figura selecciona todos sus puntos y solo ellos. La distancia se basa en Pitágoras, la circunferencia en una distancia constante al centro y la recta en una relación lineal. Usamos G014, G019 y la función lineal.
Primero, acordar los ejes
Elegimos origen O, ejes perpendiculares x,y, sentidos positivos y una unidad de longitud. En el par (x;y), el primer número es la coordenada horizontal y el segundo la vertical en este dibujo. No son distancias al origen: pueden ser negativos. Los puntos del eje x tienen y=0 y los del eje y, x=0. Los ejes no pertenecen a ninguno de los cuatro cuadrantes abiertos.
La fórmula usual de distancia requiere una misma unidad física de longitud para ambas coordenadas. Dibujar unidades iguales en ambos ejes permite ver la geometría correctamente. Estirar la gráfica horizontalmente puede hacer que una circunferencia parezca ovalada: cambia la imagen, no la ecuación. Una gráfica tiempo–coste no representa directamente metros euclídeos entre sus puntos.
La distancia es una hipotenusa
Para A(x₁;y₁),B(x₂;y₂), los catetos del triángulo rectángulo son |x₂−x₁| y |y₂−y₁|. Por Pitágoras:
AB = √((x_(2) − x_(1))^(2) + (y_(2) − y_(1))^(2)).
Los cuadrados eliminan los signos de las diferencias. Si una coordenada coincide, un cateto vale cero y obtenemos la distancia a lo largo del otro eje. Si A=B, la distancia es 0. OpenStax, distancia y punto medio.
Tomamos nuestros puntos A(−2;−5),B(4;3), en metros. Las diferencias 6 y 8 dan AB=√(36+64)=10 m. Es la distancia recta; avanzar solo por direcciones coordenadas supondría 6+8=14 m.
Distancia y punto medio
Circunferencia y comprobación de puntos
Recta vertical
Punto medio: promediar cada coordenada
El punto medio recorre la mitad del cambio horizontal y la mitad del vertical. Sus coordenadas son:
M((x_(1) + x_(2))/(2);(y_(1) + y_(2))/(2)).
Para A,B resulta Q(1;−1). De A a Q los cambios son 3 y 4; de Q a B también. Así AQ=QB=5. No promediamos los cuatro números juntos: x e y describen direcciones distintas.
La circunferencia: distancia constante
Sea AB un diámetro. El centro es Q(1;−1) y el radio r=5. X(x;y) pertenece a la circunferencia si y solo si QX=5. Al elevar al cuadrado:
(x − 1)^(2) + (y + 1)^(2) = 25.
En general, para centro Q(a;b) y r>0, es (x−a)²+(y−b)²=r². El signo dentro de cada paréntesis es opuesto a la coordenada del centro: y+1 significa y−(−1). El segundo miembro es el cuadrado del radio. UC Davis, coordenadas rectangulares.
Sustituir B(4;3) da 9+16=25: está en el contorno. Para P(5;3), 16+16=32>25: está fuera del círculo. Para T(3;1), 4+4=8<25: está dentro. La desigualdad ≤25 describe el círculo; la igualdad a 25, la circunferencia. Una sola función y(x) no describe toda la circunferencia: muchos valores de x tienen dos valores de y.
La recta y su pendiente
Si x₂≠x₁, la pendiente es k=(y₂−y₁)/(x₂−x₁). Para AB vale 8/6=4/3. Usando A:
y + 5 = (4)/(3)(x + 2), 4x − 3y − 7 = 0.
Ambas formas describen la misma recta; sustituir A,B verifica los números. Con unidades y escalas iguales, k es la tangente del ángulo de inclinación desde el sentido positivo de x, salvo para rectas verticales. Una recta decreciente tiene pendiente negativa y una horizontal, 0. OpenStax, pendiente.
La vertical x=1 tiene Δx=0: no podemos dividir entre cero. Su pendiente no está definida; no es un número real infinito. Sigue siendo una recta. La forma general ax+by+c=0 la incluye si a,b no son ambos cero. Si a=b=0, obtenemos todo el plano cuando c=0 o ningún punto cuando c≠0, no una recta.
Método de coordenadasOpcional · puedes omitirlo
Distancias iguales dan la mediatriz
Los puntos equidistantes de A y B cumplen (x+2)²+(y+5)²=(x−4)²+(y−3)². Al desarrollar, desaparecen los términos cuadráticos: 12x+16y+4=0, o 3x+4y+1=0. Es la mediatriz de AB, como en G009. Pasa por Q(1;−1); la pendiente −3/4 concuerda con ser perpendicular a una recta de pendiente 4/3.
Terminamos volviendo a la figura: qué puntos seleccionó la ecuación, qué unidades usamos y si conservamos el caso vertical. Así, comprobar números equivale a comprobar una condición geométrica.