Tema opcional del curso. Puedes repasar ecuaciones cuadráticas, signos por intervalos y transformaciones gráficas.
Dos tarifas hipotéticas dependen del consumo x≥0. Una tiene tasa a y cuota inicial 3; la otra tasa 1 y cuota b. Fijamos a,b en cada problema y buscamos x. Después clasificamos toda la familia según los parámetros. Aquí a,b≥0; dinero y consumo usan unidades arbitrarias acordadas. Es un modelo didáctico.
Comprueba antes de dividir
Igualar los importes da:
T_(1) = ax + 3, T_(2) = x + b, (a − 1)x = b − 3.
Dividir directamente entre a−1 pierde a=1. Clasificamos todos los parámetros admisibles:
| Condición | Soluciones con x≥0 |
|---|---|
| a≠1 | una si (b−3)/(a−1)≥0; en otro caso ninguna |
| a=1, b=3 | todos los x≥0 |
| a=1, b≠3 | ninguna |
En la primera fila:
x = (b − 3)/(a − 1) (a ≠ 1), x ≥ 0.
En las otras queda 0·x=b−3: identidad para b=3 y contradicción para b≠3. Los casos no se solapan y cubren todos los a,b≥0. OpenStax
Con a=2,b=5 sale x=2 y ambos importes valen 7. Con a=1,b=5 la igualdad es imposible; con a=1,b=3 siempre coinciden. Con a=0.5,b=5 el álgebra da −4, pero el consumo negativo no es admisible. El límite b=3 con a≠1 da el x=0 permitido.
El parámetro mueve el gráfico
Ahora otro problema: x²=a en toda la recta real, con cualquier a real. Un a negativo no es un cuadrado real; cero da la única raíz 0; un a positivo da dos, ±√a.
(x)^(2) = a: a < 0⇒0, a = 0⇒1, a > 0⇒2.
Los números 0,1,2 tras las flechas cuentan raíces reales distintas; no son sus valores.
Tres valores del parámetro
a=−1 · a=0 · a=1
El gráfico f_a(x)=x²−a baja al aumentar a. Aparecen intersecciones tras tocar el eje en a=0. La figura muestra tres valores del parámetro; la propiedad del cuadrado garantiza la clasificación completa. Traslaciones verticales.
Rama · Más detalleOpcional · se puede omitir
Familias exponenciales y periódicas
Por las ecuaciones exponenciales, e^x es positivo y toma cada valor positivo una sola vez:
(e)^(x) = a: a > 0⇒x = lna; a ≤ 0⇒∅.
Para sin x=a en el intervalo semiabierto 0≤x<2π hay dos raíces si |a|<1, una si |a|=1 y ninguna si |a|>1. El intervalo semiabierto evita duplicar extremos del período. En toda la recta, |a|≤1 produce infinitas raíces por periodicidad. Mantén a fijo mientras buscas x. Ecuaciones trigonométricas.
Define dominios de variable y parámetro, separa denominadores y coeficientes nulos, resuelve cada rama y comprueba límites. Preguntar para qué parámetros exige una partición completa, no unos ejemplos favorables.