Imaginemos ocho aportaciones semanales: primero 50 unidades monetarias y luego 10 más cada vez. ¿Cuánto vale la octava y cuánto se habrá aportado en total? Son preguntas distintas: un término de la sucesión frente a la suma de sus términos.
Usamos potencias y operaciones repetidas y funciones. Es un modelo aritmético hipotético, sin intereses, comisiones ni retiradas; la regla cubre ocho semanas.
El índice es la entrada; el término, la salida
Una sucesión numérica es una función cuyas entradas son índices naturales o un conjunto inicial finito de ellos. Aquí empezamos en 1: a_(1) = 50, a_(2) = 60, a_(3) = 70. El subíndice indica posición, no multiplicación. El orden importa y se permiten valores repetidos.
Nuestro dominio es n ∈ {1,2,…,8}. No hay un término número 2,5: la sucesión describe semanas separadas, no cualquier duración real. Por eso su gráfica consta de puntos (n,a_(n)), sin necesidad de segmentos que los unan.
Una diferencia constante define la progresión
Una progresión aritmética tiene diferencia constante entre términos consecutivos: a_(n + 1) − a_(n) = d. Aquí d = 10. La definición recursiva da el primer término y el paso:
a_(1) = 50, a_(n + 1) = a_(n) + 10.
Aplicamos el paso para n = 1,…,7. Sin valor inicial, «sumar 10» no determina la sucesión: podríamos empezar en 5 o 500. La diferencia puede ser negativa o cero y producir una progresión decreciente o constante. Definición y recursión, OpenStax §13.2.
Por qué exactamente n−1
Del primer término al segundo hay un paso; al tercero, dos; al n-ésimo, n − 1. La fórmula explícita es
a_(n) = a_(1) + (n − 1)d.
Da directamente cualquier término permitido. a_(8) = 50 + 7 ⋅ 10 = 120. Escribir 50 + 8 ⋅ 10 añade por error ocho pasos y da el noveno término de la regla prolongada. Si la numeración empieza en 0, resulta a_(n) = a_(0) + nd: comprueba siempre el índice inicial.
Aportaciones por semana
| Pareja de extremos | Suma |
|---|---|
| 50 + 120 | 170 |
| 60 + 110 | 170 |
| 70 + 100 | 170 |
| 80 + 90 | 170 |
4 × 170 = 680
Los puntos están en a_(n) = 10n + 40, pero solo se permiten índices enteros. Unos pocos valores iniciales no demuestran una progresión: tras 50,60,70 podría venir 100. La diferencia constante debe darse como regla o demostrarse para cualquier índice admitido.
La suma en orden directo e inverso
Sea S_(n) = a_(1) + a_(2) + ⋯ + a_(n). Escribimos la misma suma al revés: S_(n) = a_(n) + a_(n − 1) + ⋯ + a_(1). Al sumar posiciones correspondientes de las dos listas obtenemos siempre a_(1) + a_(n), pues
a_(j) + a_(n + 1 − j) = 2a_(1) + (n − 1)d.
Hay n sumandos así, luego 2S_(n) = n(a_(1) + a_(n)) y
S_(n) = (n(a_(1) + a_(n)))/(2) = (n)/(2)(2a_(1) + (n − 1)d).
La deducción también vale para n impar: sumamos dos listas completas, en vez de dividir una sola en un número entero de parejas. Sumas aritméticas, OpenStax §13.4.
Para ocho semanas, S_(8) = 8(50 + 120)/2 = 680. Las parejas de extremos del esquema suman 170: 50+120, 60+110, 70+100, 80+90. Cuatro parejas dan 680. Sumar directamente las ocho aportaciones lo confirma.
Aportación y acumulación siguen reglas diferentes
La tercera aportación es a_(3) = 70, pero el total hasta la tercera semana es S_(3) = 50 + 60 + 70 = 180. Nuestra regla da S_(n) = 5(n)^(2) + 45n: la acumulación es cuadrática en el índice aunque las aportaciones formen una progresión aritmética. En general, S_(n) − S_(n − 1) = a_(n), no d.
Identifica primero qué está numerado y si buscas un término o una suma. Entonces n − 1 cuenta pasos y la fórmula de suma surge de una simetría que puedes reconstruir.