Un sensor hipotético se repite cada 6 horas, alrededor de 10 y con desviaciones de hasta 2 unidades. Una sinusoide separa nivel medio, amplitud, período y desplazamiento temporal. Usamos transformaciones y círculo unidad.
y(t) = 10 + 2sin((π)/(3)(t − 1)); T = 6, 8 ≤ y ≤ 12.
t está en horas; las lecturas, en unidades abstractas. En t=1 vale 10 y crece; el máximo 12 llega en t=2,5. Se repite seis horas después.
y = d + Asin(ω(t − h)), ∣A∣ > 0, ω > 0; T = (2π)/(ω).
La amplitud |A| es la máxima desviación respecto de d; el recorrido pico a pico es 2|A|. h desplaza a la derecha; ω es frecuencia angular en radianes/hora y el argumento es adimensional. Si A=0 hay una constante sin menor período positivo. OpenStax
Parámetros de señal
y=10+2sin(π(t−1)/3); -- y=10+sin(πt)
Seno y coseno
sin x; -- cos x
Tangente y cotangente
tan x; -- cot x
Un círculo, distintas gráficas
sin y cos tienen dominio ℝ, recorrido [−1,1] y período mínimo positivo 2π. El desfase permite escribir una misma armónica con cualquiera de las dos.
cosx = sin(x + π/2); tanx = (sinx)/(cosx); cotx = (cosx)/(sinx).
Tangente y cotangente tienen período π y ningún valor de amplitud finito: son ilimitadas. Se excluyen π/2+kπ para tan y kπ para cot, k entero. No unas ramas a través de esas asíntotas verticales. En cada intervalo tan crece y cot decrece.
Una armónica ideal es un caso particular de periodicidad. Un pulso rectangular también se repite, pero no es una sola sinusoide. El sensor es un modelo supuesto, no mediciones: forma y parámetros reales necesitan verificación aparte.
Opcional: período de una suma
Si T es período de f y de g, (f+g)(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x), así que lo es de la suma. Para períodos conmensurables T₁/T₂=p/q, con enteros positivos p,q, un período común es qT₁=pT₂. Por ejemplo, sin x y sin 2x comparten 2π. No tiene por qué ser el menor de la suma: la cancelación sin x−sin x=0 incluso da una constante. La periodicidad de cada sumando, sin período común, no basta por sí sola para esa conclusión.