La etiqueta de una lata se despliega como rectángulo. Una caperuza cónica necesita parte de un disco. ¿Por qué igual radio y altura no producen la misma área lateral? Comparemos nuestro cilindro y cono de r=4 cm y h=3 cm. La clave es distinguir el radio de la base del radio del desarrollo.
Girar una figura crea un sólido
Requisitos: arcos y sectores, normales a un plano, secciones, desarrollos de prismas.
Tratamos cilindros y conos circulares rectos, r>0,h>0. Girar un rectángulo relleno alrededor de un lado crea un cilindro; girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto crea un cono. Girar solo el lado opuesto del rectángulo o la hipotenusa crea la superficie lateral, no todo el volumen.
El eje del cilindro pasa por los centros de sus dos bases circulares congruentes y es perpendicular a sus planos. La altura h es la distancia entre ellos. Una generatriz une puntos correspondientes de las circunferencias de las bases por la superficie lateral; su longitud es h.
El cono tiene una base circular y un vértice sobre su centro. El eje pasa por vértice y centro; la altura es el segmento perpendicular entre ellos. La generatriz l une el vértice con un punto de la circunferencia de la base. En nuestro cono:
l = √((r)^(2) + (h)^(2)) = √((4)^(2) + (3)^(2)) = 5 cm.
La sección axial completa del cilindro es un rectángulo de 2r×h; la del cono, un triángulo isósceles de base 2r y lados iguales l. Dividirlo por su altura da un triángulo rectángulo de catetos r,h. No sustituimos r por el diámetro 2r en la fórmula de la generatriz.
Cilindro: r=4 cm, h=3 cm
Banda de 8π×3 cm y dos bases
Cono: sección axial
Sector de 288° y una base
Etiqueta: rectángulo tan largo como la circunferencia
Cortamos la superficie lateral del cilindro por una generatriz. La banda rectangular tiene altura h y longitud 2πr, la longitud de la circunferencia, no el área del círculo. Por eso:
S_(cyl,lat) = 2πrh.
Nuestra banda mide 8π×3 cm y su área lateral es 24π≈75,40 cm². El cilindro cerrado añade dos círculos de área πr² cada uno: área total 24π+32π=56π≈175,93 cm². La etiqueta sola no necesita bases. Una banda adicional para pegar requiere una anchura especificada aparte; la fórmula no la incluye.
Caperuza: sector de radio l, no r
El cono cortado por una generatriz se despliega como sector. Su radio es l=5 cm: la distancia del vértice al borde recorre la superficie. El arco del sector mide lo mismo que la circunferencia de la base, 2πr=8π cm. Con ángulo central θ en radianes, lθ=2πr; así θ=2πr/l=8π/5. En grados es 360°·r/l=288°.
No usamos todo el círculo de radio 5: su borde mediría 10π, demasiado para una circunferencia de 8π. La fracción de círculo es r/l=4/5. El área del sector es:
S_(cone,lat) = (r)/(l) π(l)^(2) = πrl.
El área lateral es 20π≈62,83 cm². Con una base, el área total es 20π+16π=36π≈113,10 cm². Una caperuza abierta no tiene base. πrh sería incorrecto: altura vertical 3 cm no es radio del sector 5 cm.
Sección y desarrollo son distintos
El desarrollo conserva longitudes y área sobre la superficie cortada. La sección conserva solo puntos de un plano. Por eso la sección axial triangular del cono no sustituye a su desarrollo sectorial. Asimismo, la elipse de la base en un dibujo espacial es la proyección del círculo real, no otra forma física de la base.
Detalle opcionalPara el cilindro y cono ordinarios basta la explicación anterior.
Rama · Tronco de cono
Un corte paralelo a la base a mitad de altura desde el vértice separa un cono pequeño semejante: radio 2 cm, generatriz 2,5 cm. El tronco restante tiene R=4,r=2, altura 1,5 y generatriz s=2,5 cm. Su área lateral es la diferencia 20π−5π=15π cm².
Para un tronco circular recto, S=π(R+r)s. Sea L la generatriz completa del cono grande y tL la pequeña, con r=tR. La diferencia lateral es πRL−π(tR)(tL)=πR(1−t²)L=π(R+r)s, pues s=L(1−t). El área total añade πR²+πr²: aquí 15π+16π+4π=35π cm². El desarrollo lateral es un sector anular de radios 5 y 2,5 cm y ángulo 288°, no un trapecio. Sus arcos igualan las circunferencias de las bases. Un corte oblicuo no cumple automáticamente estas condiciones.
Fuentes y límites
Definiciones, secciones axiales y desarrollos: Merzliak y coautores, 2019, apartados 19–20, pp.122–129. Comprobación adicional de deducciones: AMSI, Cones, Pyramids and Spheres, secciones de área superficial de cilindro y cono. Las cifras y esquemas son propios; las áreas ideales excluyen grosor y costuras. Los volúmenes se tratarán en G034.