Un dibujo duplica anchura y altura. ¿Por qué su área se cuadruplica sin que aumente la parcela representada? Separamos transformar la figura, cambiar su imagen y elegir unidades de medida.
La homotecia se define por un centro O y una razón k≠0: multiplica por k el vector de O a cada punto. Longitudes y perímetro se multiplican por |k|; el área, por k². Un k negativo lleva la imagen al otro lado del centro, sin reflejarla respecto de una recta. Usamos semejanza, áreas e isometrías.
El centro determina desde dónde medimos
Con k>0, X y X′ están en el mismo rayo desde O. Con 0<k<1, la imagen queda más cerca del centro; con k>1, más lejos. Con k<0 usamos el rayo opuesto. La distancia OX′=|k|·OX sigue siendo no negativa. El centro queda fijo.
Para O(a;b), las fórmulas son:
x′ = a + k(x − a), y′ = b + k(y − b).
Solo con O(0;0) se simplifican a x′=kx,y′=ky. Por ejemplo, centro (2;1),k=2 y punto (3;2) dan imagen (4;3), no (6;4). Escalamos el desplazamiento desde el centro, no desde un origen coordenado arbitrario.
La diferencia entre coordenadas de dos imágenes se multiplica por k; la fórmula de distancia da el factor |k|. La razón de semejanza es el número positivo s=|k|. Ampliamos G013 especificando también centro y posición de la imagen. AMSI, escala y semejanza.
La misma forma en una cuadrícula
Nuestro rectángulo tiene vértices A(1;1),B(4;1),C(4;3),D(1;3). Sus lados miden 3 y 2, el perímetro 10 y el área 6. Las longitudes usan una misma unidad elegida y el área, su cuadrado.
Mismo centro, distinta escala
k = 2: S = 6 → S′ = 24
k = −1/2: S = 6 → S′ = 1,5
Con centro O(0;0),k=2 obtenemos lados 6 y 4, perímetro 20 y área 24. Cada celda original se convierte en un bloque de 2×2, cuatro celdas. Así aparece el cuadrado de la razón.
Por qué el área se multiplica por k²
En un triángulo, base y altura perpendicular se multiplican por s=|k|. De S=ah/2 resulta S′=(sa)(sh)/2=s²S=k²S. Dividir un polígono simple en triángulos sin solapamientos da el mismo factor para la suma de áreas. Para un círculo, S=πr² lo muestra directamente: el radio se multiplica por s y el área por s².
Se conservan ángulos y razones de longitudes correspondientes. Una recta por el centro se transforma en sí misma; otra que no pasa por él se transforma en una paralela. La homotecia es un tipo de semejanza. Para superponer figuras semejantes arbitrarias puede hacer falta una isometría adicional: traslación, giro o reflexión. Ser semejantes no garantiza un único centro común de homotecia para vértices ya situados en el plano.
Una razón negativa no da área negativa
Con k=−1/2, el rectángulo pasa a (−1/2;−1/2),(−2;−1/2),(−2;−3/2),(−1/2;−3/2). Sus lados son 1,5 y 1, perímetro 5 y área 1,5. Las longitudes se reducen a la mitad y el área a la cuarta parte.
Una homotecia negativa combina escala positiva |k| y media vuelta alrededor de O. En el plano conserva la orientación del recorrido de vértices, a diferencia de la reflexión axial. Con k=−1 obtenemos la simetría central de G022; con k=1, la identidad. Ambas son isometrías. Otros valores de |k| cambian distancias. Notas docentes Transformations, sección4.
Excluimos k=0: todos los puntos coincidirían en O, se perdería la forma y la operación no sería reversible. Con k≠0, la homotecia inversa tiene el mismo centro y razón 1/k.
Del área a la longitud
Si el área de una figura semejante es 9 veces mayor, sus longitudes son √9=3 veces mayores, no 9. El área no indica el signo de k: tanto k=3 como k=−3 dan factor 9. Para ubicar la homotecia necesitamos también posiciones de puntos correspondientes respecto del centro.
Para nuestro rectángulo, área inicial 6 y deseada 24 dan s=√(24/6)=2. Concuerda con el perímetro 20, doble del inicial 10. Los volúmenes de sólidos semejantes necesitan otro argumento; volveremos a ellos en la parte espacial del curso.
El plano y la parcela son objetos distintos
Ejemplo propio: una parcela ocupa 5,6 cm² en un plano 1:250. El área real es 5,6·250²=350 000 cm²=35 m². Aplicamos el factor dos veces y después convertimos centímetros cuadrados a metros cuadrados.
Si la impresión duplica realmente ambas dimensiones lineales, el área en papel pasa a 22,4 cm² y la escala a 1:125. El cálculo 22,4·125² vuelve a dar 350 000 cm², es decir, 35 m². La parcela no cambia. El zoom del navegador tampoco demuestra un cambio físico del objeto; para medir papel comprobamos la escala real de impresión.
Con coordenadasOpcional · puedes omitirlo
Hallar el centro con k conocido
Con k≠1 y X(x;y),X′(x′;y′) conocidos, las fórmulas dan a=(x′−kx)/(1−k),b=(y′−ky)/(1−k). Para X(3;2),X′(4;3),k=2 resulta O(2;1). Las demás parejas correspondientes deben producir el mismo centro. Una sola pareja correcta no demuestra la homotecia de toda la figura. Para k=1 la fórmula falla: la identidad no distingue un centro único.