Креслення збільшили вдвічі по ширині й висоті. Чому його площа зросла вчетверо, а зображена ділянка не стала більшою? Треба розділити перетворення фігури, зміну її зображення та одиниці вимірювання.
Гомотетія задається центром O та коефіцієнтом k≠0: вектор від O до кожної точки множиться на k. Довжини й периметр множаться на |k|, площа — на k². Від’ємний k переносить образ через центр, а не робить дзеркальне відбиття. Спираємося на подібність, площі та рухи.
Центр визначає, звідки відлічуємо
При k>0 точки X і X′ лежать на одному промені від O. При 0<k<1 образ ближче до центра, при k>1 — далі. При k<0 промінь змінюється на протилежний; відстань OX′=|k|·OX все одно невід’ємна. Сам центр лишається на місці.
Для O(a;b) формули такі:
x′ = a + k(x − a), y′ = b + k(y − b).
Лише для O(0;0) вони спрощуються до x′=kx,y′=ky. Наприклад, центр (2;1), k=2 і точка (3;2) дають образ (4;3), а не (6;4): масштабуємо відстань від центра, не від довільно обраного початку координат.
Різниця координат двох образів множиться на k, тому за формулою відстані їхня відстань множиться на |k|. Коефіцієнт подібності — додатне число s=|k|. Це продовжує G013, але тепер ми знаємо ще й центр та положення образу. AMSI, масштаб і подібність.
Та сама форма на сітці
Наш прямокутник має вершини A(1;1),B(4;1),C(4;3),D(1;3). Сторони 3 і 2, периметр 10, площа 6. Усі числа в одній обраній одиниці довжини та її квадраті для площі.
Центр той самий, масштаб різний
k = 2: S = 6 → S′ = 24
k = −1/2: S = 6 → S′ = 1,5
При центрі O(0;0),k=2 сторони стають 6 і 4, периметр 20, площа 24. На сітці одна клітинка вихідного прямокутника перетворюється на блок 2×2, тобто чотири клітинки. Це показує, звідки береться квадрат масштабу.
Чому площа множиться на k²
У трикутнику і основа, і перпендикулярна висота множаться на s=|k|. За S=ah/2 отримуємо S′=(sa)(sh)/2=s²S=k²S. Розбиваючи простий многокутник на трикутники без накладання, дістаємо той самий множник для суми площ. Для круга це видно з S=πr²: радіус множиться на s, площа — на s².
Кути та відношення відповідних довжин зберігаються. Пряма, яка проходить через центр, переходить у себе; пряма поза центром — у паралельну. Гомотетія — окремий вид подібності. Щоб сумістити довільні подібні фігури, після неї може знадобитися ще рух: перенесення, поворот або відбиття. Подібність не гарантує одного спільного центра для вже розміщених відповідних вершин.
Від’ємний коефіцієнт не дає від’ємної площі
При k=−1/2 наш прямокутник переходить у вершини (−1/2;−1/2),(−2;−1/2),(−2;−3/2),(−1/2;−3/2). Сторони 1,5 і 1, периметр 5, площа 1,5. Отже, довжини вдвічі менші, площа вчетверо менша.
Негативна гомотетія — додатне масштабування на |k| разом із півобертом навколо O. У площині це зберігає орієнтацію обходу вершин, на відміну від осьового відбиття. При k=−1 маємо центральну симетрію з G022, при k=1 — тотожне перетворення. Обидва є рухами. При інших |k| відстані вже змінюються. Навчальні нотатки Transformations, розділ 4.
Число k=0 виключено: усі точки злилися б у O, форма втратилася б і повернути її назад було б неможливо. При k≠0 обернена гомотетія має той самий центр і коефіцієнт 1/k.
Від площі назад до довжини
Якщо площа подібної фігури більша у 9 разів, її довжини більші у √9=3 рази, не у 9. Площа сама не показує знак k: і k=3, і k=−3 дають множник 9 для площі. Щоб знайти гомотетію, потрібне ще розташування відповідних точок відносно центра.
Для нашого прямокутника з початковою площею 6 бажана площа 24 дає s=√(24/6)=2. Ця перевірка узгоджується з периметром 20, який удвічі більший за 10. Для подібних тіл об’єми потребують окремого міркування; до них повернемося в просторовій частині курсу.
Креслення та ділянка — різні об’єкти
Власний приклад: на плані 1:250 ділянка займає 5,6 см². Реальна площа 5,6·250²=350 000 см²=35 м². Коефіцієнт застосовуємо двічі, потім переводимо квадратні сантиметри у квадратні метри.
Якщо друк справді подвоїв обидві лінійні розміри плану, паперова площа стане 22,4 см², а масштаб — 1:125. Розрахунок 22,4·125² знову дає 350 000 см², тобто 35 м². Сам об’єкт не змінився. Зум у браузері також не доводить зміни фізичного розміру об’єкта; для вимірювання на папері перевіряємо фактичний масштаб друку.
З координатамиНеобов’язково · можна пропустити
Як знайти центр за відомим k
Якщо k≠1 і відомі X(x;y),X′(x′;y′), формули дають a=(x′−kx)/(1−k),b=(y′−ky)/(1−k). Для X(3;2),X′(4;3),k=2 отримуємо O(2;1). Інші пари відповідних точок повинні дати той самий центр. Однієї правильної пари недостатньо, щоб довести гомотетію всієї фігури. При k=1 формула центру не працює: тотожність не вирізняє єдиного центра.