Круглий зріз кулі залежить від того, наскільки близько площина проходить до центра. Чи можна знайти його радіус, не вимірюючи сам зріз? Для нашої моделі радіуса 13 см і відстані до площини 5 см відповідь дасть трикутник 5–12–13. Але спершу відокремимо поверхню від тіла.
Сфера — межа, куля — разом із серединою
Передумови: коло й круг, теорема Піфагора, перпендикуляр до площини, просторові координати.
Сфера з центром C та радіусом R>0 — усі точки на відстані рівно R від C. Куля — точки на відстані не більшій за R, разом із межею. Центр належить кулі, але не сфері. Це просторове продовження різниці між колом і заповненим кругом.
Обертання півкруга навколо діаметра утворює кулю; обертання півкола — сферу. Реальна порожня оболонка має товщину й матеріал між двома поверхнями; математична сфера сама по собі товщини не має. Діаметр проходить через центр, сполучає дві точки сфери та має довжину 2R.
Звідки береться коло перерізу
Нехай площина α лежить на відстані d від C, а H — основа перпендикуляра з C до α. Для будь-якої точки X у площині CH⊥HX, тому (CX)²=d²+(HX)². Точка лежить на сфері саме тоді, коли CX=R, тобто:
(HX)^(2) = (R)^(2) − (d)^(2).
Якщо d<R, всі такі X утворюють коло з центром H та радіусом ρ=√(R²−d²). Ми довели обидва напрямки: кожна спільна точка належить цьому колу, і кожна точка кола має відстань R від C. Для кулі нерівність CX≤R дає заповнений круг з тією самою межею.
Коло на сфері: R=13, d=5, ρ=12
Переріз CHX: два катети й радіус
Перетин, дотик, відсутній перетин
У власному прикладі R=13 см, d=5 см, отже ρ=√(169−25)=12 см. Довжина кола перерізу 2πρ=24π см, площа заповненого круга πρ²=144π≈452,39 см². Це площа плоского перерізу, не площа всієї сфери й не частини її кривої поверхні.
Коли d=0, H=C і ρ=R: площина через центр дає велике коло сфери та великий круг кулі. Воно має найбільший можливий радіус серед плоских кругових перерізів. Якщо d зростає, ρ зменшується; за одним фото у перспективі таку залежність вимірювати не можна.
Дотична площина: одна спільна точка
З формули одразу видно решту випадків. При d>R права частина від’ємна: перетину немає. При d=R лишається HX=0, отже лише точка H. Таку площину називають дотичною до сфери, а H — точкою дотику.
Дотична площина перпендикулярна до радіуса в точці дотику. І навпаки: площина через точку T сфери, перпендикулярна CT, має з нею лише T. Справді, для іншої точки X цієї площини (CX)²=(CT)²+(TX)²>R². Отже, через кожну точку сфери проходить одна дотична площина: її положення задають точка T й нормаль CT.
Дотична — не площина, яка просто «торкається» контурної лінії на екрані. Справжній просторовий критерій — відстань R від центра або перпендикулярність до відповідного радіуса.
Координати перевіряють побудову
Для власного центра C(1;−2;3), R=13 сфера має рівняння:
(x − 1)^(2) + (y + 2)^(2) + (z − 3)^(2) = 169.
На площині z=8 відстань до центра |8−3|=5. Підстановка дає (x−1)²+(y+2)²=144, разом з умовою z=8: це коло з центром H(1;−2;8). Без умови на z рівняння з x та y задавало б нескінченну циліндричну поверхню.
Площина z=16 має відстань 13 від C й дотикається в T(1;−2;16). Площина z=19 віддалена на 16 і сфери не перетинає. Заміна = на ≤ у рівнянні сфери дає кулю, а не іншу сферу. Так одна система координат перевіряє і означення, і всі три випадки перетину.
Площі кривої поверхні та об’єми потребують інших формул; їх розглянемо в G034. Тут достатньо впізнати, чи ми рахуємо коло, заповнений круг, поверхню або тіло.
Джерела й межі
Сфера й куля, три випадки перетину та перпендикулярність дотичної: Мерзляк та співавтори, 2019, п.21, с.133–135. Додатково OpenStax, Calculus Volume 3, §2.2 задає сферу рівністю відстаней і виводить її координатне рівняння; там також пояснено, чому відсутність обмеження на z дає циліндр. Модель 13/5/12, координати та геометричний доказ через Піфагора — власні.