На плані стіни A і B позначають кінці триметрової ділянки, а C — місце розетки за 1,2 м від A. Від іншої лінії відходить напрям під кутом 60°. Щоб прочитати цей план, треба розрізняти об’єкт, його позначення й міру.
Відрізок має два кінці й довжину; промінь має початок і напрям; пряма необмежена в обидва боки. Кут задають два промені зі спільним початком. Довжину вимірюємо, наприклад, у метрах, кут — у градусах. Перед цим уроком достатньо моделей і доведення.
Куди закінчується лінія
Точка A позначає місце без власного розміру. Пряма AB проходить через дві різні точки A і B, але не закінчується на них. Промінь AB починається в A, проходить через B й триває далі. Промінь BA має інший початок і протилежний напрям. Відрізки AB і BA, натомість, є тією самою фігурою.
У тексті «AB=3 м» символ AB означає довжину відрізка, а не сам набір точок. У різних книжках для прямої, променя й відрізка використовують додаткові риски або стрілки; слова біля запису допомагають уникнути неоднозначності. Стрілки на нашій схемі означають продовження, а не фізичний рух.
Пряма, промінь, відрізок
Бісектриса кута 60°
Дві прямі: кути 60° і 120°
Оскільки C лежить між A і B, маємо AB=AC+CB. Отже, до B від розетки лишилося:
CB = AB − AC = 3 − 1,2 = 1,8 m.
Ми віднімаємо числа в одній одиниці — метрах. Якби C лежала на продовженні за B, ця сама схема додавання вже не підходила б. Середина відрізка — внутрішня точка, що ділить його на дві рівні частини; C в нашому прикладі не середина, бо 1,2≠1,8.
Як читати кут
У записі ∠AOB середня літера O — вершина, OA й OB — сторони-промені. Довжини намальованих рисок OA та OB не задають величини кута. Продовження риски без зміни напряму кута не змінює.
Повний оберт — 360°, розгорнутий кут між протилежними променями — 180°, прямий — 90°. Гострий кут більший за 0° і менший за 90°; тупий — більший за 90° і менший за 180°. Тут розглядаємо звичайні неорієнтовані кути до 180°; яку область маємо на увазі, показує дуга. Напрям повороту й більші кути окремо вивчаються у тригонометрії.
Бісектриса — промінь із вершини всередині кута, що ділить його на два рівні кути. На схемі OC ділить 60° на 30° і 30°. Це не означає поділу навпіл будь-якої сторони чи відстані. Побудову бісектриси циркулем тут не припускаємо відомою: наразі важливий зміст слова. Евклід I.9.
Дві прямі дають більше інформації
Суміжні кути мають спільну сторону, а дві інші сторони — протилежні промені. Разом вони утворюють розгорнутий кут, тому їхня сума 180°. Самої спільної сторони недостатньо: два сусідні кути по 30° не є суміжними в цьому значенні. Евклід I.13.
Вертикальні кути лежать навпроти при перетині двох прямих; сторони одного є протилежними променями до сторін іншого. Вони рівні. Причина: кожен разом із тим самим третім кутом дає 180°; віднімаємо цей третій кут і отримуємо рівність. Евклід I.15.
Якщо один із чотирьох кутів на перетині дорівнює 60°, суміжний дорівнює 180°−60°=120°, протилежний — 60°, останній — 120°. Перевірка навколо точки:
60° + 120° + 60° + 120° = 360°.
Рівні кути не обов’язково вертикальні: вони можуть бути в різних місцях плану. І навпаки, слово «вертикальні» тут не означає напрям угору: можна повернути весь рисунок, і властивість збережеться. Читаючи план, спочатку встановіть, які промені й точки задано, а потім застосовуйте правила довжин та кутів.