За умовною моделлю координата візка s(t)=t²: t — число секунд, s — число метрів, 0≤t≤3. За інтервал від 2 до 3 с координата змінюється з 4 до 9 м: середня швидкість 5 м/с. А яка вона саме в момент 2 с? Зменшуємо інтервал і шукаємо границю середніх швидкостей — похідну. Потрібні нахил прямої та границя.

Не ділимо на нуль

Позначимо приріст часу h. Для h=0,1 середня швидкість 4,1 м/с, для h=0,01 — 4,01 м/с. Зліва h=−0,1 дає 3,9 м/с. Обидва напрями ведуть до 4:

(s(2 + h) − s(2))/(h) = ((2 + h)^(2) − 4)/(h) = 4 + h (h ≠ 0).

Скорочення дозволене лише при h≠0; нуль з’являється як напрям наближення, а не знаменник. Загальне означення:

f′(a) = (lim⁡)_(h→0)(f(a + h) − f(a))/(h).

Символ f′(a) читають «похідна f у точці a». Якщо скінченна двобічна границя існує, функція диференційовна в цій точці. Набір таких значень утворює функцію f′. Для нашої моделі s′(2)=4 м/с; одиниці похідної — одиниці результату, поділені на одиниці аргументу. OpenStax

Січні наближаються до дотичної

s=t²; — m=4; -- m=5; ·· m=4.5

0123049t, сs, м
Умовна координата s=t²: t у секундах, s у метрах. Помаранчева парабола, суцільна дотична нахилу 4; штрихова січна через t=3 має нахил 5, крапкова через t=2,5 — 4,5. Рівномірні шкали; показано лише вікно 0≤s≤10.

Січна проходить через дві точки графіка; її нахил дорівнює середній зміні. Коли друга точка наближається до першої, нахили 5 і 4,5 наближаються до 4. Пряма з граничним нахилом — дотична. Вона локально передає напрям графіка, але не зобов’язана бути прямою, яка має з ним лише одну спільну точку.

Рівняння дотичної

У точці (a,f(a)) потрібні її координати й нахил f′(a):

y = f(a) + f′(a)(x − a); s_(tan)(t) = 4 + 4(t − 2) = 4t − 4.

При t=2 дотична має те саме значення 4 і нахил 4; далеко від цієї точки вона не замінює параболу. Миттєва швидкість тут є точним результатом умовної формули. Для виміряних даних оцінка з короткого інтервалу ще містить похибки вимірювання.

Де означення не працює

Для f(x)=|x| у нулі відношення приростів дорівнює −1 зліва і 1 справа. Є неперервність, проте немає єдиної похідної. Диференційовність тягне неперервність; зворотне твердження хибне. Зв’язок і винятки.

Отже, швидкість 4 м/с у момент 2 с отримано зі зміни на дедалі коротших інтервалах. Перед застосуванням похідної перевіряйте область моделі, одиниці та наявність спільної скінченної границі.