На плані потрібно провести другу лінію розмітки паралельно першій і відкласти від краю найкоротшу відстань до точки. Вигляд «майже рівно» не встановлює ні напрямів, ні відстані. Допоможуть кути з попереднього уроку.
Різні прямі однієї площини паралельні, якщо не перетинаються; перпендикулярні — якщо перетинаються під прямим кутом. Відстань від точки до прямої — довжина перпендикуляра до неї. Умова однієї евклідової площини тут істотна.
Не перетинаються на аркуші — ще не паралельні
Прямі необмежені. Два короткі відрізки можуть не мати спільних точок, хоча прямі, які їх містять, зустрінуться поза рисунком. Запис a∥b говорить саме про паралельність прямих. У просторі можливі також прямі без спільних точок, що не лежать в одній площині; наші плоскі правила на них не переносимо.
Проведімо третю пряму c, яка перетинає a і b у різних точках. Це січна. Вона утворює по чотири кути біля кожного перетину. Назви пар описують їхнє розташування і мають сенс ще до перевірки паралельності.
Січна й вісім кутів
Два перпендикуляри до c
Прямий і ламаний шлях
На нашій схемі ∠1 і ∠5 — відповідні: займають однакові місця біля двох перетинів. ∠3 і ∠5 — внутрішні різносторонні: лежать між a та b по різні боки січної. ∠4 і ∠5 — внутрішні односторонні: між прямими з одного боку січної.
Ознака та властивість працюють у різні боки
Ознака дозволяє встановити паралельність. Якщо відповідні кути рівні, прямі паралельні. Так само достатньо рівності внутрішніх різносторонніх або суми 180° для внутрішніх односторонніх. Це три способи перевірити той самий геометричний зв’язок. Евклід I.28.
Наприклад, задано ∠1=60° та ∠5=60°. Вони відповідні, тому a∥b. Не можна взяти довільні два рівні кути: вертикальні кути біля одного перетину рівні завжди й нічого не повідомляють про другу пряму.
Властивість починається з уже відомої паралельності й дає висновки про кути. Якщо a∥b та ∠1=60°, то ∠5=60°, ∠3=60°, а ∠4=120°. Отримуємо:
∠4 + ∠5 = 120° + 60° = 180°.
Перехід від ознаки до властивості — це обернений напрям твердження, який також потребує обґрунтування. У евклідовій площині обидва напрями правильні. Евклід I.29.
Кутник задає перпендикуляр
Запис a⊥c означає, що прямі утворюють прямий кут. Тоді всі чотири кути на перетині по 90°: суміжний доповнює 90° до 180°, вертикальний дорівнює йому.
Дві різні прямі однієї площини, перпендикулярні до тієї самої прямої c, паралельні між собою: їхні відповідні кути із c рівні 90°. Тому для паралельної розмітки можна двічі прикласти кутник до одного напрямного краю. Це геометричний принцип; реальна точність залежить і від інструмента, і від роботи.
Чому похила дає завищену відстань
Нехай P не лежить на a, а PH⊥a і H належить a. H — основа перпендикуляра, довжина PH — відстань до прямої. Для точки на самій прямій відстань дорівнює нулю. Перпендикуляр із точки, Евклід I.12.
Візьмімо іншу точку Q на a. Чому PQ довший? Уявімо згин аркуша вздовж a: дзеркальна точка P′ опиниться навпроти P, а H буде серединою PP′. Під час суміщення довжина не змінюється, тому PQ=P′Q. Прямий шлях PP′ коротший за ламаний P–Q–P′, коли Q≠H. Отже, 2PH менше за 2PQ, тобто PH менше за PQ. Це пояснення використовує принцип коротшого прямого шляху, а не вимірювання картинки. Евклід I.20.
Відстань до прямої не завжди є відстанню до намальованого відрізка: основа перпендикуляра може опинитися поза його кінцями. Для розмітки спочатку встановіть, до якого об’єкта потрібна відстань, а потім обирайте напрям вимірювання.