Коробку можна виміряти трьома числами, але для купівлі матеріалу треба уявити всі її грані. Задамо власну прямокутну коробку 6×4×3 см і розгорнемо її на площину. Паралельно з’ясуємо, чому у похилої призми бічне ребро не є висотою.
Призма — перенесена основа
Передумови: площа многокутників, перпендикуляр до площини, грані й перерізи.
Уявімо многокутник і його копію, перенесену одним ненульовим вектором, не паралельним площині многокутника. Відповідні вершини сполучаємо: дві рівні фігури у паралельних площинах стають основами призми, а бічні грані — паралелограмами. Бічні ребра рівні й паралельні. Самих лише двох рівних паралельних многокутників недостатньо без відповідного з’єднання: скручена верхня основа не дає такої призми.
Для опуклої n-кутної призми маємо n+2 грані, 2n вершин, 3n ребер: по n ребер у кожній основі й n бічних. Тут n≥3. Переріз площиною, паралельною основам і між ними, — рівний основі многокутник; розмір не звужується догори, як у піраміди.
Висота h — відстань між площинами основ, тобто довжина перпендикуляра. У прямої призми бічні ребра перпендикулярні до основ і мають довжину h; бічні грані — прямокутники. У похилої призми ребро нахилене й довше за h. Наприклад, горизонтальне зміщення 3 та висота 4 дають бічне ребро √(3²+4²)=5, а не 4.
Правильна призма — пряма призма з правильною основою. Прямокутна коробка з основою 6×4 см є прямою призмою, але не правильною: її основа не квадрат. Слова «пряма» й «правильна» не взаємозамінні.
Паралелепіпед і його діагоналі
Якщо основа призми — паралелограм, маємо паралелепіпед: усі шість граней — паралелограми. Якщо він прямий і основа прямокутна, це прямокутний паралелепіпед. Якщо три виміри однакові — куб. Похилий паралелепіпед не стає прямокутним лише тому, що має шість граней.
Діагональ грані лежить в одній грані. Просторова діагональ сполучає вершини, що не належать одній грані. Для прямокутного паралелепіпеда з вимірами a,b,h два застосування Піфагора дають:
d = √((a)^(2) + (b)^(2) + (h)^(2)).
Спочатку діагональ основи має квадрат a²+b²; потім вона та висота утворюють прямокутний трикутник. У нашій коробці d=√61≈7,81 см. Для куба з ребром a маємо діагональ грані a√2 та просторову a√3. Формулу трьох квадратів не переносимо на довільний косокутний паралелепіпед: потрібні прямі кути.
Розгортка пояснює площу
Коробка 6×4×3 см
Її шість граней на площині
Похиле ребро ≠ висота
Розріжмо поверхню нашої ідеальної закритої коробки по частині ребер і розкладемо шість граней без перекриття. Отримаємо розгортку. У ній є дві основи 6×4, дві бічні грані 6×3 і дві 4×3 см. Згинання відбувається вздовж спільних сторін; однакові довжини мають збігтися. Не кожне довільне сусідство шести прямокутників складеться в потрібну коробку.
Сума бічних площ дорівнює 2·6·3+2·4·3=60 см². Загалом для прямої призми кожна бічна грань має площу aᵢh, тому:
S_(lat) = Ph, S_(total) = Ph + 2B.
P — периметр основи, B — площа однієї основи. Отже, P=20 см, B=24 см², повна площа 60+48=108 см². У прямокутного паралелепіпеда це той самий запис 2(ab+ah+bh). У куба — 6a².
Якщо верхньої кришки немає, віднімаємо одну основу: 108−24=84 см². Одиниця площі — см², не см і не см³. Об’єм та місткість розглянемо окремо в G034: площа поверхні не відповідає на запитання, скільки рідини вміститься.
Межа моделі
У похилої призми висоти бічних паралелограмів до ребер основи можуть бути різними. Тому формула Ph з перпендикулярною висотою призми загалом не працює для бічної поверхні: рахуємо площі граней окремо. Не замінюємо h і всі висоти граней однією довжиною похилого ребра.
108 см² — площа граней ідеальної замкненої коробки нульової товщини. Реальна заготовка може потребувати клапанів, швів і відходів розкрою. Вони не виникають автоматично з геометричної формули; спершу потрібен конкретний проєкт. Так само сума довжин ребер — матеріал для каркаса, а не площа обшивки.
Джерела
Шкільні означення й формули звірено з підручником Мерзляка, Номіровського, Полонського та Якіра (2019): пп.16–17, с. 98–108. Додатково AMSI, Surface Area of a Prism пояснює суму площ через розгортку. Розміри, числові приклади та схема власні; це не технологічна карта виготовлення.