Потрібно розмітити п’ять однакових частин на відрізку, але зручно відкладати рівні кроки зовсім в іншому напрямку. Паралельні прямі дозволяють перенести таку розмітку без зміни відношень.
Паралельні прямі відтинають на двох січних пропорційні відповідні відрізки. Середня лінія трикутника дорівнює половині третьої сторони, а середня лінія трапеції — півсумі основ. Для читання знадобляться паралельність, чотирикутники та звичайні відношення чисел.
Назва одна, формулювання різні
У шкільному українському викладі теоремою Фалеса часто називають твердження про рівні відрізки: якщо паралельні прямі відтинають рівні послідовні відрізки на одній січній, то на іншій вони теж відтинають рівні відрізки. Англійська назва Thales’ theorem часто стосується іншого факту — прямого вписаного кута, що спирається на діаметр. Його ми вже розглядали в G008. AMSI.
Тому далі важлива не назва, а точна умова: які прямі паралельні й які відрізки відповідні.
Від рівних частин до пропорцій
Візьмімо два промені з початком O та кутом між 0° і 180°. Дві різні паралельні прямі перетинають перший у порядку O,A,B, другий — у порядку O,A′,B′. Тоді:
(OA)/(AB) = (OA′)/(A′B′), (OA)/(OB) = (OA′)/(OB′).
Наприклад, OA=3, AB=2 та OA′=4,5 в одних одиницях. Маємо 3/2=4,5/A′B′, звідки A′B′=3. Повні відрізки OB=5 і OB′=7,5 також мають відповідне відношення 5/7,5=3/4,5. Збільшення на іншому промені всюди однакове; не можна змішувати частину й ціле або міняти порядок лише в одному дробі.
Відповідні частини: 3 : 2 = 4,5 : 3
Трикутник: MN = AC / 2
Трапеція: 3 + 6 = 9
П’ять рівних кроків → п’ять частин
Це теорема про пропорційні відрізки, а рівні кроки — її окремий випадок. Вона справджується й для трьох або більше різних паралельних прямих і двох січних: відношення між сусідніми перетинами однакові на обох січних. Числа в прикладі лише перевіряють застосування. Загальне твердження не вимагає спільної одиниці, яка вміщується в кожному відрізку ціле число разів; Евклід VI.2 доводить пропорційний поділ через відношення площ.
Середня лінія трикутника: половина сторони
У трикутнику ABC нехай M — середина AB, N — середина BC. Відрізок MN називаємо середньою лінією. Тоді MN∥AC та MN=AC/2. Якщо AC=10, середня лінія дорівнює 5.
Цей результат можна довести вже знайомими засобами. Продовжимо MN за N до E так, щоб NE=MN. Трикутники MBN і ECN рівні за двома сторонами й вертикальним кутом: BN=NC, MN=NE. Тому MB=EC та MB∥EC. Оскільки AM=MB, чотирикутник AMEC — паралелограм: AM і EC рівні й паралельні. Отже, ME∥AC, ME=AC, а MN — половина ME.
Обернений факт теж корисний: пряма через середину однієї сторони, паралельна другій, проходить через середину третьої. У трикутника три середні лінії — за вибором двох сторін. AMSI, середні лінії.
У трапеції усереднюємо дві основи
Нехай AB∥CD, M і N — середини бічних сторін AD та BC. Тоді:
MN∥AB, MN = (AB + CD)/(2).
Для основ 12 і 6 дістаємо MN=9. Чому не 6? Проведімо діагональ AC і позначмо її середину K. У трикутнику ADC середня лінія MK дорівнює CD/2=3; у трикутнику ABC середня лінія KN дорівнює AB/2=6. Обидві паралельні основам і лежать на одній прямій, тому MN=3+6=9. Сполучення середин самих основ — інший відрізок, до якого ця формула не належить.
Поділ на п’ять частин без ділення на лінійці
Для даного AB:
- Із A проводимо довільний допоміжний промінь, що не лежить на прямій AB.
- Циркулем відкладаємо на ньому п’ять рівних ненульових кроків до X₁,…,X₅. Їхня довжина довільна, але розкриття циркуля незмінне.
- Сполучаємо X₅ з B.
- Через X₁,…,X₄ проводимо прямі, паралельні X₅B. Їхні перетини з AB ділять його на п’ять рівних частин.
Обґрунтування — теорема про рівні відрізки на двох січних. Для AB=17 см кожна частина має 17/5=3,4 см, але побудова не потребує спочатку вимірювати ці 3,4 см. Паралелі можна будувати перенесенням кута з G010. В ідеальній моделі поділ точний; неточність інструмента накопичується в реальному рисунку.