Конус і циліндр мають однакові основу й висоту. Чому в конус входить третина, а не половина вмісту циліндра? Трикутник на його осьовому перерізі справді займає половину прямокутника, але площа одного зрізу ще не визначає об’єм.
Виміряти простір кубиками
Передумови: масштаб і площа, призми, піраміди, циліндри й конуси, сфера та куля.
Об’єм порівнює тіло з одиничним кубом. У прямокутному блоці 6×4×3 см є 72 одиничні кубики по 1 см³: V=abc. Об’єми частин додають, коли їхні внутрішні області не перекриваються; спільні межі не додають об’єму.
Для призми V=Bh, де B — площа основи, h — перпендикулярна відстань між площинами основ. Формула діє й для похилої призми: бічне ребро замість h підставляти не можна. Для піраміди з тією самою B та h загальна теорема дає V=Bh/3; правильність основи не потрібна.
Одна третина: перевірка на кубі
Сполучімо центр куба з усіма вершинами. Утворяться шість рівних квадратних пірамід, по одній на кожну грань. Куб ребра 6 см має об’єм 216 см³; кожна піраміда — 36 см³. Її основа B=36 см², а висота лише 3 см. Призма з цією самою основою й висотою має 108 см³: 36/108=1/3.
Це доводить співвідношення для моделі з куба та її подібних копій. Саме по собі таке розбиття не доводить формулу для всіх форм основи й висот; нижче є окремий загальний розрахунок.
Куб: шість рівних пірамід
Осьові перерізи: площа ≠ об’єм
Для відгалуження: рівні площі зрізів
Для прямого кругового циліндра V=πr²h, для конуса V=πr²h/3. Візьмімо r=4 см, h=3 см: 48π≈150,80 см³ проти 16π≈50,27 см³. Трикутний осьовий переріз має площу 12 см², прямокутний — 24 см². Відношення площ тут 1/2, відношення об’ємів — 1/3: для об’єму важливі всі паралельні перерізи.
Куля займає простір, сфера має площу
Для R>0 маємо дві різні величини:
V = (4)/(3)π(R)^(3), S = 4π(R)^(2).
За R=3 см отримуємо V=36π см³ та S=36π см². Однакове число 36π — випадковий збіг у вибраних одиницях; площу з об’ємом не порівнюють як однорідні величини. Площа сфери дорівнює бічній площі описаного навколо неї циліндра радіуса R і висоти 2R, без двох основ.
Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити
Кавальєрі: порівнюємо всі рівні
Приймаємо принцип Кавальєрі: тіла однакової висоти з однаковими площами перерізів на кожному відповідному рівні мають рівні об’єми. Самої рівності основ недостатньо.
Для верхньої півкулі на висоті z від екватора площа зрізу π(R²−z²), де 0≤z≤R. Порівняймо її з циліндром радіуса R, висоти R, з якого вилучено конус. Вершина конуса внизу, на рівні z=0, основа вгорі, на z=R; радіус його зрізу дорівнює z. Залишкове кільце має площу πR²−πz², ту саму на кожному рівні. Тому об’єм півкулі πR³−πR³/3=2πR³/3; подвоєння дає формулу кулі. Тут використано вже відому формулу конуса.
Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · потрібне поняття інтеграла
Інтеграл пояснює коефіцієнти
У піраміди або конуса переріз на відстані z від вершини подібний основі з масштабом z/h. Його площа B(z/h)², тому:
V = ((∫)_(0))^(h)B(((z)/(h)))^(2) dz = (Bh)/(3).
Для площі сфери параметризуємо півколо x=R cos t, y=R sin t, 0≤t≤π. Елемент довжини дуги ds=R dt. Формула площі поверхні обертання додає смужки 2πy ds і дає S=2πR²∫₀^π sin t dt=4πR². Це окреме обґрунтування площі, не вимірювання силуету.
Літри й масштаб
1 см³=1 мл; 1 л=1 дм³=1000 см³; 1 м³=1000 л=1 000 000 см³. Наш циліндр містить приблизно 0,15080 л, конус — 0,05027 л. Для місткості беруть внутрішні розміри, а не зовнішній діаметр оболонки.
При збільшенні всіх довжин у s>0 разів площі множаться на s², об’єми — на s³. Подвоєний радіус кулі дає вчетверо більшу площу й увосьмеро більший об’єм. Перед обчисленням оберіть тіло, перевірте висоту та одиниці; тоді формула має конкретний зміст.
Джерела й межі
Формули та умови: Мерзляк та співавтори, 2019, пп.22–23, с.141–149. AMSI, Cones, pyramids and spheres — розбиття куба та принцип Кавальєрі. OpenStax, Calculus Volume 2, §7.2 — площа поверхні обертання. Перетворення одиниць: таблиця NIST. Числа й рисунки власні; модель ідеальна, товщину матеріалу не враховано.