Дроби, пропорції й відсотки без плутанини

Як перерахувати рецепт і чому знижки 20% та 10% дають разом 28%: дроби, пропорції, база порівняння й відсоткові пункти.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

7 листопада 2026 р.6 хв читанняЧастина 2 з 51

На ціннику обіцяють знижку 20%, а потім ще 10%. Здавалося б, разом 30%. Але з умовних 1000 одиниць залишається 720, тобто знижка становить 28%. Причина — другі 10% рахують уже від іншої суми. Відсоток завжди означає частку від названої бази. База — величина, яку в цьому розрахунку прийняли за 100%.

Потрібні означення дробових чисел є в першому уроці про числові множини. Тут зосередимося на тому, що саме ми порівнюємо.

Рецепт як пропорція

Для чотирьох однакових порцій потрібно 300 г крупи. Для шести порцій беремо в $6/4=3/2$ раза більше: $300\cdot3/2=450$ г. Відношення двох величин — результат ділення однієї на іншу; тут 300 г / 4 порції = 75 г на порцію. Ми зберігаємо це відношення:

\frac{300}{4}=\frac{450}{6}=75.

Рівність двох відношень називають пропорцією. У чисельниках тут грами, у знаменниках — кількість порцій; їхній порядок однаковий з обох боків. Перевірка навхрест дає $300\cdot6=450\cdot4=1800$ . Вона працює, бо обидва знаменники ненульові: рівність можна помножити на їхній добуток. Означення й умови пропорції в OpenStax, §6.5.

Не все в кухні масштабується так само: збереження маси на порцію не доводить, що час приготування теж слід помножити на 3/2.

Для дій із дробами важливий розмір частини. Щоб додати $3/4$ та $1/2$ літра, подаємо обидві кількості в четвертинах: $3/4+2/4=5/4$ літра. Знаменники не додаємо: вони називають одиницю поділу. Щоб знайти половину від $3/4$ літра, множимо: $1/2\cdot3/4=3/8$ літра. А ділення на $3/4$ означає множення на обернений дріб $4/3$ ; оберненого до нуля немає.

Відсоток називає соту частину бази

1% = 1/100, тому 20% = 20/100 = 1/5 = 0,2. Це різні записи однієї частки. OpenStax, §6.1: перехід між відсотками, дробами та десятковими числами.

Що шукаємо	Приклад із базою 1000
Частину за відсотком	20% від 1000: 1000 · 0,2 = 200
Ціле за його частиною	Якщо 200 — це 20%, ціле: 200 / 0,2 = 1000
Відсоток за частиною й цілим	200 від 1000: 200 / 1000 · 100% = 20%

У другому рядку частка ненульова, у третьому — база ненульова. Відсоток може бути більшим за 100%: 150% рецепта — це півтори його початкові кількості.

Чому дві знижки не додаються

Після знижки 20% залишається 80% початкової ціни: $1000\cdot0{,}8=800$ . Друга знижка забирає 10% від 800, тобто 80, а не 100. Залишається $800\cdot0{,}9=720$ .

Крок 1 · база 1000 · −20%

Крок 2 · нова база 800 · −10%

■ Залишається▱ Знижка

Обидві смуги мають один масштаб: повна довжина першої — 1000 умовних грошових одиниць. 20% від 1000 — це 200, а 10% від нових 800 — лише 80. Разом віднято 280, тобто 28% початкової ціни.

Від початкової тисячі зникли 280 одиниць: $(1000-720)/1000=0{,}28=28\%$ . Можна одразу перемножити частки, що залишилися: $0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72$ . Додати 20% і 10% можна було б лише тоді, коли обидві знижки окремо рахують від початкових 1000. Це інша умова, її треба перевірити.

Відсотки та відсоткові пункти

Уявімо, що частка певної категорії змінилася з 10% до 12%. Різниця становить 2 відсоткові пункти: 12 − 10 = 2. А відносне зростання самої частки — 20%: $(12-10)/10\cdot100\%=20\%$ . Це дві відповіді на різні питання. Офіційне пояснення ONS визначає відсотковий пункт як різницю відсотків.

Для відсоткової зміни ділимо різницю на старе значення. Якщо воно нульове, цей розрахунок не визначений: перехід із 0 до 5 не є скінченним відсотковим приростом від нуля.

Відгалуження · ПеревіркаДодатковий приклад зміни бази; можна продовжити без нього.

Чому плюс 20% не скасовує мінус 20%

Після знижки з 1000 до 800 збільшення на 20% дає лише $800\cdot1{,}2=960$ . Щоб повернути 1000, треба додати 200 від поточних 800: $200/800=0{,}25=25\%$ . Зворотна дія до множення на 0,8 — ділення на 0,8, тобто множення на 1,25.

Перед наступним відсотковим розрахунком допиши словами «від чого». У рецепті база — чотири порції, у другій знижці — вже 800, а у відносній зміні частки — її попередні 10%. Саме вибір бази визначає правильну дію.