Яку частину кожного шестигодинного циклу умовний сигнал 10+2sin(πt/3) перевищує 11? Нерівність обирає дугу кола й відповідні проміжки часу, а не лише точки перетину. Потрібні інтервали, синусоїда та рівняння.
10 + 2sin(πt/3) > 11 ⟺ sinθ > 1/2, θ = πt/3.
На одиничному колі sinθ — висота. Лінія y=1/2 перетинає коло при π/6 та 5π/6; вище неї лежить відкрита верхня дуга. Кути вимірюємо в радіанах, k — будь-яке ціле.
π/6 + 2πk < θ < 5π/6 + 2πk; 1/2 + 6k < t < 5/2 + 6k.
Відкрита дуга sinθ>1/2
x²+y²=1
Час над порогом
y=10+2sin(πt/3); -- y=11
Кожного періоду це 2 год із 6, тобто третина часу. На 0≤t≤12 відповідь (0,5;2,5)∪(6,5;8,5) год. Це неперервний умовний сигнал, не набір вимірювань датчика. Для ≥ кінці входили б; для > вони не входять, бо значення рівно 11. OpenStax
Розриви теж є межами
tanθ > 1 ⟺ π/4 + πk < θ < π/2 + πk.
Права межа виключена не через строгість порівняння, а тому що tan не існує в π/2+πk. Розв’язуємо на одній вітці, тоді повторюємо з періодом π.
Додатково: перетин умов
sinθ ≥ 1/2, cosθ > 0 ⟺ π/6 + 2πk ≤ θ < π/2 + 2πk.
Початок включено через ≥, кінець виключено через cosθ=0. Система означає «і», тому беремо перетин, не об’єднання.
Додатково: заміна з ізольованим значенням
2(sin)^(2)θ − sinθ − 1 ≥ 0; u = sinθ ∈ [ − 1,1].
(2u + 1)(u − 1) ≥ 0 ⟺ u ∈ [ − 1, − 1/2]∪{1}.
На одному оберті це дає:
θ ∈ [7π/6,11π/6]∪{π/2} (0 ≤ θ < 2π).
Далі повторюємо обидві частини з кроком 2π. Окрема точка π/2 — справжній розв’язок нестрогої нерівності, її не можна загубити. Спершу перевірте область, один період і кожний кінець, потім поверніться від кута до часу.
Інший напрям заміни — x=sin t у радикальному виразі. На −1≤x≤1 обираємо −π/2≤t≤π/2: тут відповідність однозначна, cos t≥0 і √(1−x²)=cos t. Тоді √(1−x²)>x перетворюється на cos t>sin t, тобто t<π/4 у цьому проміжку; відповідь −1≤x<√2/2. Ліва межа входить, права ні. Це заміна з областю й зворотним переходом, а не дозвіл завжди писати √(cos²t)=cos t.