Посудина з округлим дном — не просто циліндр. Яку площу покривати й скільки рідини вона вмістить? Побудуємо власну ідеальну модель, а потім перевіримо, як зміниться відповідь, якщо розміри відомі лише в межах інтервалів.
Спершу визначити, що рахуємо
Передумови: додавання площ, круг і сектор, висоти та відстані, об’єми й площа сфери.
Наша посудина відкрита зверху: циліндр радіуса r=4 см і висоти h=7 см з’єднаний з нижньою півкулею такого самого радіуса. Загальна висота 11 см. Поки товщиною стінки нехтуємо; це дозволяє розглядати місткість і одну криву поверхню за тими самими r та h.
Внутрішні області двох частин не перекриваються, тому:
V = π(r)^(2)h + (2)/(3)π(r)^(3) = (464π)/(3) (см)^(3).
Це приблизно 485,90 см³, або 0,48590 л. Для покриття одного боку кривої стінки S=2πrh+2πr²=88π≈276,46 см². Верхнього диска немає; спільний круг з’єднання всередині моделі також не додаємо. Для товстої оболонки потрібні окремі внутрішні й зовнішні розміри, а для двобічного покриття — дві поверхні.
Посудина: відкритий верх і внутрішній стик
Задані межі та номінальні значення
Окремо: закриті циліндри, V=128π см³
Сума чи різниця залежить від об’єкта. Якщо вирізаємо циліндричний отвір із блока, віднімаємо його об’єм; але площа стінки отвору, навпаки, додається до площі поверхні. Формулу обирає опис межі, а не лише назва тіла.
Межі розмірів дають межі відповіді
Припустімо для прикладу: 3,9≤r≤4,1 см та 6,8≤h≤7,2 см. Це задані нами межі, а не паспорт приладу чи стандарт виробництва. Обидві формули зростають із додатними r та h, тому найменші значення отримуємо на двох нижніх межах, найбільші — на верхніх.
Об’єм лежить приблизно від 449,166 до 524,581 см³. Щоб округлення не звузило гарантовані за моделлю межі, запишемо 449,16≤V≤524,59 см³. Для площі аналогічно 262,19≤S≤291,10 см². Номінальні 485,90 см³ — одна центральна підстановка, а не гарантована місткість кожної посудини.
Це детерміновані межі при заданих припущеннях. Назвати їх «95% довірчим інтервалом» без імовірнісної моделі не можна. Похибка форми, товщина й неточність самих меж тут не враховані.
Запас — окреме рішення
Якщо для навчального кошторису самостійно обрати запас 8%, номінальну площу множимо на 1,08: приблизно 298,58 см². Якщо хочемо той самий запас понад верхню межу моделі, беремо 291,10×1,08=314,388 см², а не номінальне число. Це різні домовленості; 8% не є рекомендованою технологічною нормою. Розкрій, шви й вартість задають додаткові умови.
Оптимізувати можна лише визначений клас
Тепер окрема задача: закритий циліндр із двома основами, фіксований V=128π см³. Для числових значень r,h у сантиметрах h=128/r², а S/π=256/r+2r². Радіуси 2, 4, 8 дають висоти 32, 8, 2 та площі 136π, 96π, 160π см². Серед цих трьох найкращий r=4, але три приклади ще не доводять глобальний мінімум.
Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · можна пропустити
Мінімум без похідної
Для будь-якого числового r>0:
(S)/(2π) − 48 = (r)^(2) + (128)/(r) − 48 = ((r − 4)^(2)(r + 8))/(r) ≥ 0.
Рівність можлива тільки при r=4: h=8, S=96π см². Добуток праворуч невід’ємний, тому це доказ для всіх додатних радіусів. Відношення h=2r узгоджується із загальною задачею мінімізації площі закритого циліндра.
Цей оптимум стосується закритого циліндра, а не нашої відкритої посудини з півкулею. Геометрія дає відповідь лише після того, як визначені форма, поверхні, обмеження й мета.
Джерела й межі
Додавання об’ємів і формули: Мерзляк та співавтори, 2019, пп.22–23. University of Waterloo, CEMC — оптимальний закритий циліндр; наведене алгебраїчне доведення для 128π власне. NIST, glossary of uncertainty — для рівня довіри потрібні припущення про розподіл. Модель посудини, інтервали й запас 8% задані тут, без заяв про реальні технологічні допуски.