Уявний процес займає пам’ять за правилом R(t) = 4 − (t − 2)^(2) на 0 ≤ t ≤ 4, де t — години, R — числовий обсяг у ГБ. Що можна дізнатися, ще не обчислюючи кожну хвилину? Графік читають через область, нулі, напрям зміни й межі; перетворюють через зміну координат.
Спираємося на функції, лінійні залежності та параболу. Це вигаданий приклад, а не вимірювання пам’яті реальної програми.
Спершу область та осі
У нашій моделі область визначення [0,4], нулі — 0 та 4, між ними ресурс додатний. Від 0 до 2 год обсяг зростає, від 2 до 4 спадає. Слово «зростає» стосується порівняння будь-яких двох входів з цього інтервалу: якщо t_(1) < t_(2), то R(t_(1)) < R(t_(2)). Це не означає «значення додатне»: додатна функція може спадати.
Коли рівні значення теж дозволені, говорять «неспадна» та пишуть R(t_(1)) ≤ R(t_(2)). Горизонтальна ділянка тоді допустима; для строгого зростання — ні.
Маємо 0 ≤ R ≤ 4: функція обмежена знизу й зверху. Максимум 4 досягається в 2, мінімум 0 — на кінцях. Але межа не завжди досягається: 1/x на x > 0 більша за 0 й наближається до нього, проте мінімуму 0 не має.
Умовний обсяг пам’яті
Обернена функція: обмін координат
Симетрія потребує правильної області
Парна функція задовольняє f( − x) = f(x), непарна — f( − x) = − f(x), причому область має бути симетричною відносно нуля. (x)^(2) на всій прямій парна, (x)^(3) непарна. Для першої графік відбивається відносно вертикальної осі, для другої поворот на пів оберту навколо початку зберігає графік.
Наш R(t) симетричний відносно t = 2, але не є парною функцією на [0,4]: наприклад, −1 до області не входить. Якщо ввести u = t − 2, отримаємо R = 4 − (u)^(2) на [ − 2,2] — вже парну залежність від u. Зміна початку відліку змінює висновок про парність.
Що змінюється у координатах
У g(x) = f(x) + k усі точки піднімаються на k при k > 0. У g(x) = f(x − h) вони зсуваються вправо на h при h > 0: старий вхід u тепер отримуємо при x = u + h. Цим пояснюється знак мінус усередині.
g(x) = af(x) множить вертикальні координати на a; при a < 0 додає відбиття відносно горизонтальної осі. g(x) = f( − x) відбиває графік відносно вертикальної осі. Для b > 0 правило g(x) = f(bx) ділить горизонтальні координати на b: при b = 2 графік стискається вдвічі. Область теж змінюється за цими правилами. Перетворення, OpenStax §3.5.
Відгалуження · Послідовні правилаПорядок важливий і для формули, і для області.
Композиція читається зсередини
f∘g означає f(g(x)): спершу g, потім f. Для f(x) = x + 1 і g(x) = (x)^(2) маємо f(g(x)) = (x)^(2) + 1, але g(f(x)) = (x + 1)^(2). При x = 2 це 5 та 9. У композиції вхід має належати області g, а проміжний результат g(x) — області f. Композиція, OpenStax §3.4.
Відгалуження · Зворотний шляхОбернена функція не є дробом 1/f.
Коли результат однозначно повертає вхід
Обернена функція (f)^( − 1) існує на області значень f, якщо кожен результат там має рівно один початковий вхід. Це взаємно однозначність із власною областю значень; графічно кожна горизонтальна пряма має не більш як один перетин. Тоді (f)^( − 1)(f(x)) = x і f((f)^( − 1)(y)) = y на відповідних областях.
Для числової температури F(C) = 9C/5 + 32 зворотне правило C(F) = 5(F − 32)/9: 20°C дає 68°F, а повернення дає 20°C. Формула не наділяє фізичним змістом температури поза фізично допустимою областю.
При обміні входу й виходу точка (x,y) переходить у (y,x). На однакових числових шкалах це відбиття відносно y = x. Нижня панель показує f(x) = 2x + 1 і (f)^( − 1)(x) = (x − 1)/2: (1,3) переходить у (3,1). Позначення −1 тут не означає 1/f(x).
(x)^(2) на всій прямій оберненої функції не має: −2 і 2 дають 4. Після обмеження x ≥ 0 має обернену √(x) на x ≥ 0. Обернені функції, OpenStax §3.7.
Навіть незнайома крива стає читабельною, коли відділено її область, поведінку й спосіб зміни координат. Для зворотного шляху є ще одне питання: чи справді результат визначає єдиний початковий вхід?