Для кругової ділянки потрібні дві різні покупки: бордюр уздовж краю та покриття всередині. У каталозі обидва числа можуть починатися з π, але одне має одиницю метра, інше — квадратного метра. Як не підмінити одне іншим?
Коло — межа, круг — область усередині разом із межею. Дуга має довжину; сектор і сегмент мають площу. Їхні формули залежать від того, яку частину повного оберту ми взяли. Потрібні радіуси й хорди, центральний кут і розбиття площі.
Чому в обох формулах є π
Якщо збільшити ідеальне коло в k разів, його діаметр d і довжина C збільшаться в k разів. Відношення C/d не зміниться. Це спільне для всіх кіл число називаємо π:
π = (C)/(d), C = 2πr, d = 2r.
π≈3,14159. Записи 3,14 та 22/7 — наближення, не точні значення. Обведення банки ниткою допомагає оцінити відношення, але натяг, товщина нитки й форма предмета вносять похибку. Такий дослід не доводить, що π ірраціональне. AMSI, довжина кола.
Площа круга S=πr² також пов’язана з довжиною межі. Опишімо навколо круга правильний n-кутник. Кожен його центральний трикутник має висоту r, тому площа многокутника Sₙ=Pₙr/2. Коли кількість сторін необмежено зростає, Pₙ наближається до C, а Sₙ — до площі круга. Отримуємо S=Cr/2=πr². Це граничний перехід, а не твердження, що якийсь скінченний многокутник уже є кругом.
Одна дуга, три різні об’єкти
Два радіуси відтинають сектор, обмежений цими радіусами й дугою. Хорда з тією самою дугою обмежує сегмент. Для центрального кута меншого за 180° сектор містить трикутник між радіусами й хордою; менший сегмент цього трикутника не містить.
Дуга: довжина
Сектор: площа
Сегмент: площа
Нехай центральний кут α заданий у градусах, 0≤α≤360°. Частка оберту f=α/360°. Тоді довжина дуги ℓ=f·2πr, а площа сектора S=f·πr². Частка та сама, але одна величина масштабується як r, друга — як r².
Для r=3 м і α=120° маємо третину оберту. Дуга ℓ=2π≈6,283 м, сектор S=3π≈9,425 м². Щоб обгородити весь сектор, додаємо два радіуси: P=2π+6≈12,283 м. Одна дуга не охоплює прямі краї.
Радіан прибирає зайвий множник
Радіанна міра θ — відношення довжини дуги до радіуса: θ=ℓ/r. Одна радіанна одиниця відповідає дузі довжиною r. Оскільки довжина повного кола 2πr, повний оберт — 2π радіанів, а 180° — π радіанів.
θ = (α)/(180°)π, ℓ = rθ, S_(сектора) = (1)/(2)(r)^(2)θ.
Останні дві формули потребують θ у радіанах. Наші 120° — це 2π/3 радіанів. Підстановка числа 120 замість 2π/3 дала б зовсім іншу дугу. У калькуляторі синусів також перевіряємо DEG/RAD. OpenStax, радіани та сектор.
Сегмент: віднімаємо трикутник
Для меншого сегмента з 0<θ≤π від сектора віднімаємо трикутник із двома сторонами r та кутом θ. Його площа r²sinθ/2 за G018. Отже:
S_(сегмента) = ((r)^(2))/(2)(θ − sinθ).
Тут θ і аргумент синуса узгоджені в радіанах. Для r=3,θ=2π/3 площа трикутника 9√3/4≈3,897, а сегмента 3π−9√3/4≈5,528 м². Це менше за сектор — очікувана перевірка. Хорда має довжину 2r sin(θ/2)=3√3; повна межа сегмента складається з дуги та хорди, а не двох радіусів. AMSI, сектор і сегмент.
Інша частина кругаНеобов’язково · можна пропустити
Як отримати більший сегмент
Та сама хорда відтинає і більший сегмент. Його площа — площа круга мінус площа меншого: 9π−(3π−9√3/4)=6π+9√3/4≈22,747 м². Він містить великий сектор 240° разом із малим трикутником, тому тут площу трикутника додаємо.
Єдина формула r²(θ−sinθ)/2 також працює для π<θ<2π, якщо θ — кут саме великої дуги: sinθ від’ємний, і віднімання дає додавання. Не підставляємо додатну площу трикутника замість знакового синуса.
Масштаб і кошторис
Для того самого кута подвоєння радіуса подвоює дугу, хорду й периметр; площі сектора та сегмента зростають у чотири рази. Додавати метри бордюру до квадратних метрів покриття не можна. Спочатку визначаємо потрібну межу або область, потім рахуємо з π і округлюємо наприкінці. Запас матеріалу — окреме рішення, а не прихована частина геометричної формули.