Як поділити відрізок навпіл, якщо на лінійці немає жодної поділки? «На око» не потрібно: рівні відстані можна задати колами, а потрібну лінію отримати з їхніх перетинів.
Геометрична побудова — скінченна послідовність дозволених дій із доведенням результату. Немаркована лінійка проводить прямі; циркуль задає кола й переносить дану довжину як радіус. Знадобляться ознаки рівності трикутників та геометричні місця точок.
Спершу правила інструментів
Лінійкою тут не зчитуємо сантиметри й не користуємося її двома краями як готовими паралельними прямими. Для прямої беремо дві вже побудовані різні точки. Для кола — побудований центр і довжину радіуса. У шкільній моделі циркуль може зберігати розкриття, щоб перенести відрізок. Навіть у суворішій класичній моделі перенос довжини можливий через допоміжні побудови. Евклід I.2, AMSI.
Реальний рисунок має похибку. Доведення стосується ідеальної моделі: причиною рівності є радіуси та теореми, а не точність олівця.
Середина та прямий кут одним алгоритмом
Нехай A≠B. Розв’язання має чотири частини.
- Аналіз. Шукаємо серединний перпендикуляр: його точки рівновіддалені від A і B. Дві такі точки можна отримати як перетини рівних кіл.
- Побудова. Малюємо кола з центрами A і B, кожне радіуса AB. Позначаємо перетини P та Q, проводимо PQ. Нехай M — перетин PQ з AB.
- Доведення. PA=PB і QA=QB як радіуси рівних кіл. P та Q лежать на серединному перпендикулярі, тому PQ — саме ця пряма. Отже, AM=MB та PQ⊥AB.
- Дослідження. Кола мають дві точки перетину, бо AB<2AB. Вони визначають єдину пряму PQ та єдину середину M. Обраний радіус важливий: для двох рівних кіл він має бути більшим за AB/2.
1 · Два кола радіуса AB
2 · Два перетини P та Q
3 · Пряма PQ та середина M
Бісектриса: кола через O та Q
SSS: дві позиції, одна форма
Допоміжні кола залишено на схемі, щоб було видно походження P і Q. Сама перевірка рулеткою не замінила б третього кроку.
Бісектриса без транспортира
З вершини O даного ненульового кута, меншого за 180°, проводимо дугу довільного радіуса. Вона відтинає на сторонах U і V, причому OU=OV. Із U та V малюємо кола однакового радіуса UV; вибираємо їхню спільну точку Q всередині кута, відмінну від O, і проводимо промінь OQ.
OU = OV, UQ = VQ, OQ = OQ.
Трикутники OUQ та OVQ рівні за SSS, отже кут поділено навпіл. У показаному прикладі 60° одна точка допоміжних перетинів — O, тому беремо іншу, Q. Евклід I.9.
Перенести дані й побудувати трикутник
Щоб відкласти від P на даному промені довжину AB, проводимо коло із центром P та радіусом AB. Його перетин із променем дає потрібний кінець відрізка.
Щоб скопіювати кут, відтинаємо на його сторонах дві точки дугою одного радіуса. У новій вершині повторюємо радіус і хорду між цими точками; третя сторона відновленого трикутника фіксує кут за SSS. Бік від нового променя обираємо за умовою. Евклід I.23.
Для SSS відкладаємо основу c й перетинаємо кола радіусів a та b з її кінців. Для SAS переносимо дві сторони та саме кут між ними. Для ASA відкладаємо сторону й копіюємо прилеглі кути; їхні промені перетинаються в третій вершині. Даний кут тут є геометричною фігурою для копіювання, не вимогою побудувати будь-яке число градусів.
Що саме рахуємо як розв’язок
Для основи 4 й радіусів 2 та 3 маємо дві дзеркальні позиції третьої вершини. Це дві побудови відносно фіксованої основи, але одна форма трикутника за конгруентністю. Якщо задано потрібну півплощину, лишається одна позиція.
При основі 5 ті самі кола дотикаються: існує одна точка на заданих відстанях, проте три вершини колінеарні й невиродженого трикутника немає. При основі 6 немає навіть спільної точки. Тому кількість перетинів і кількість допустимих фігур перевіряємо окремо. Евклід I.22.
Додатковий фактНеобов’язково · можна пропустити
Не кожен поділ кута можливий цими інструментами
Поділити 90° на три рівні кути можна: 30° отримуємо як половину 60° кута побудованого рівностороннього трикутника. Але точно поділити дані 60° на три по 20° лише немаркованою лінійкою й циркулем неможливо. Це окрема алгебрична теорема про побудовні числа, а не невдала спроба на папері. Пояснення до Евкліда I.9.
Позначена лінійка чи інший інструмент змінює правила задачі. Основні побудови цього уроку теореми про неможливість не потребують.