Sızğıçta iç bir belgi olmasa, kesikni nasıl eki eş parçağa bölmek mümkün? Köz qararı kerek degil: eş mesafeler çemberler ile berile, kerekli doğru ise olarnıñ kesişmelerinden alına.

Geometrik qurulma — ruhset etilgen adımlarnıñ soñlu tizgisi ve neticeniñ isbatıdır. Belgisiz sızğıç doğrular çeke; pergel çemberler qura ve berilgen uzunlıqnı radius olaraq köçüre. Üçköşeliklerniñ eşlik alâmetleri ve noqtalarnıñ geometrik yerleri kerek olacaq.

Evvel aletlerniñ qaideleri

Sızğıçtan santimetr oqumaymız, onıñ eki kenarını azır parallel doğrular olaraq qullanmaymız. Doğru içün evelden qurulğan eki ayrı noqta kerek. Çember içün qurulğan merkez ve radius uzunlığı kerek. Mektep modelinde pergel açıklığını saqlap, kesikni köçüre bile. Daha qattı klassik modelde de yardımcı qurulmalar ile uzunlıq köçürmek mümkün. Evklid I.2, AMSI.

Aqiqiy sızmada hata bar. İsbat ideal modelge aittir: eşlikni qalamnıñ doğrulığı degil, radiuslar ve teoremalar esaslandıra.

Bir algoritm ile orta noqta ve dik köşe

A≠B olsun. Çezimniñ dört qısmı bar.

  1. Talil. Orta perpendikulârnı qıdıramız: onıñ noqtaları A ve B-den eş uzaqlıqta. Eş çemberlerniñ kesişmeleri eki böyle noqta bere.
  2. Qurulma. Merkezleri A ve B, er biriniñ radiusı AB olğan çemberlerni sızamız. Kesişmelerini P ve Q dep belgilep, PQ-nı keçiremiz. M — PQ ile AB-niñ kesişmesi olsun.
  3. İsbat. Eş çemberlerniñ radiusları olaraq PA=PB ve QA=QB. P ve Q orta perpendikulârda yata, demek PQ şu doğrudır. Öyle etip AM=MB ve PQ⊥AB.
  4. Tedqiq. AB<2AB olğanı içün çemberler eki noqtada kesişe. Olar bir PQ doğrusını ve bir M orta noqtasını belgiley. Radius seçimi müim: eki eş çember içün o AB/2-den büyük olmalı.

1 · AB radiuslı eki çember

AB

2 · Eki P ve Q kesişüvi

ABPQ

3 · PQ doğrusu ve orta M

ABPQM

Bissektrisa: O ve Q-dan keçken çemberler

OUVQ

SSS: eki yer, bir şekil

ABC₁C₂234
Er panel içinde miqyas teñ; uzunlıqlar şartlı birimlerde. İlk üçünde AB=2, eki çemberniñ de radiusı AB. Adımlar kesişüvlerni, soñ PQ doğrusını ve M-ni qoşa. Bissektrisa misali 60°: OU=OV=UV, yardımçı çemberler O ve Q-da kesişe, Q≠O saylana. Soñkide temel 4, radiuslar 2 ve 3; C₁ ve C₂ ayna yerleridir.

P ve Q-nıñ qaydan kelgeni körünsün dep yardımcı çemberler sızmada qaldırıldı. Ruletka ile ölçev üçünci adımnıñ yerine keçmez edi.

Transportirsiz bissektrisa

Berilgen sıfırdan büyük ve 180°-den kiçik köşeniñ O töpesinden istengen radiuslı yay sızamız. O, taraflarnı U ve V noqtalarında kese, OU=OV. U ve V merkezlerinden eki çember sızamız; ekisiniñ radiusı UV olsun. Köşeniñ içinde, O-dan ayrı ortaq Q noqtasını seçip OQ şavlesini keçiremiz.

OU = OV, UQ = VQ, OQ = OQ.

OUQ ve OVQ üçköşelikleri SSS boyu eştir, demek köşe eki eş parçağa bölündi. Sızmadağı 60° misalinde yardımcı çemberlerniñ bir kesişmesi O, onıñ içün diger Q noqtasını alamız. Evklid I.9.

Berilgenlerni köçürip üçköşelik qurmaq

Berilgen şavlede P-den AB uzunlığını ayırmaq içün merkezi P, radiusı AB olğan çember sızamız. Onıñ şavle ile kesişmesi kesikniñ diger ucunı bere.

Köşeni köçürmek içün bir radiuslı yay ile taraflarında eki noqta ayıramız. Yañı töpede şu radiusnı ve eki noqta arasındaki hordanı tekrarlaymız. Qaytadan qurulğan üçköşelikniñ üçünci tarafı köşeni SSS boyu belgiley. Yañı şavleniñ kerekli tarafını şartqa köre seçemiz. Evklid I.23.

SSS içün c esasını ayırıp, uclarından a ve b radiuslı çemberlerni kesiştiremiz. SAS içün eki tarafnı ve tam aralarındaki köşeni köçüremiz. ASA içün tarafnı ve oña bitişik köşelerni köçüremiz; şavleleri üçünci töpede kesişe. Mında berilgen köşe — köçürülecek geometrik şekildir; er bir istengen derece sayısını qurmaq talapı degil.

Neni çezim dep sayamız?

Esas 4, radiuslar 2 ve 3 olsa, üçünci töpeniñ eki ayna simmetriyalı yeri bar. Sabit esasqa nisbeten bu eki qurulmadır, amma eşlik boyu üçköşelikniñ bir şeklidir. Kerekli yarım tegizlik berilse, bir yer qala.

Esas 5 olsa, şu çemberler toquna. Kerekli mesafelerde bir noqta bar, amma üç töpe bir doğruda yata: degeneratsiyasız üçköşelik yoq. Esas 6 olsa, ortaq noqta da yoq. Şunıñ içün kesişme sayısını ve şartqa uyğan şekil sayısını ayrı teşkeremiz. Evklid I.22.

Qoşma malümatİhtiyariy · keçip ketmek mümkün

Bu aletler er bir köşeni istengen şekilde bölmey

90°-ni üç eş köşege bölmek mümkün: eş taraflı üçköşelik qurıp, onıñ 60° köşesini eki eş parçağa bölerek 30° alamız. Amma berilgen 60°-ni tek belgisiz sızğıç ve pergel ile tam üç 20° köşege bölmek mümkün degil. Bu, qurulabilir sayılar aqqında ayrı cebir teoremasıdır, kâğıtta oñmağan tecribe degil. Evklid I.9 şerhi.

Belgili sızğıç ya da başqa alet meseleniñ qaidelerini deñiştire. Bu dersniñ esas qurulmalarına imkânsızlıq teoreması kerek degil.