Sızma eni ve boyı boyunca eki kere büyütildi. Meydanı neden dört kere arttı, amma tasvirlengen yer büyümedi? Şekilni dönüştürmekni, onıñ tasvirini deñiştirmekni ve ölçü birliklerini ayırmaq kerek.
Gomotetiya O merkezi ve k≠0 koeffitsiyenti ile berile: O-dan er noqtağa vektor k-ğa çarpıla. Uzunlıqlar ve perimetr |k|-ğa, meydan k²-ge çarpıla. Menfiy k obraznı merkezniñ diger tarafına köçüre, doğruğa köre ayna aksi yapmay. Beñzerlik, meydanlar ve areketlerge tayanamız.
Merkez qaydan ölçegennimizni belgiley
k>0 olsa, X ve X′ O-dan aynı şulede. 0<k<1 olsa, obraz merkezge yaqın; k>1 olsa, uzaq. k<0-da qarşı şule qullanıla. OX′=|k|·OX mesafesi yine menfiy degil. Merkez özü yerinde qala.
O(a;b) içün formulalar:
x′ = a + k(x − a), y′ = b + k(y − b).
Yalnız O(0;0) içün x′=kx,y′=ky-ge sadeleşe. Meselâ, merkez (2;1),k=2 ve noqta (3;2) obraz (4;3) bere, (6;4) degil. İhtiyariy koordinata başlanğıcından degil, merkezden mesafeni miqyaslaymız.
Eki obraz koordinataları farqı k-ğa çarpıla; mesafe formulası |k| çarpanını bere. Beñzerlik koeffitsiyenti — musbet s=|k|. Bu, G013-nıñ devamı, amma şimdi merkez ve obraz yerleşüvi de belli. AMSI, miqyas ve beñzerlik.
Ağda aynı şekil
Tikdörtkoşeligimizniñ töpeleri A(1;1),B(4;1),C(4;3),D(1;3). Tarafları 3 ve 2, perimetri 10, meydanı 6. Uzunlıqlar bir saylanğan birlikte, meydan ise onıñ kvadratında.
Merkez aynı, miqyas başqa
k = 2: S = 6 → S′ = 24
k = −1/2: S = 6 → S′ = 1,5
O(0;0),k=2 içün taraflar 6 ve 4, perimetr 20, meydan 24 ola. Asıl ağnıñ er üceyresi 2×2 blokqa, yani dört üceyrege çevirile. Miqyas kvadratı mından çıqa.
Meydan neden k²-ge çarpıla
Üçköşelikte esas ve perpendikulyar yükseklik s=|k| kere arta. S=ah/2-den S′=(sa)(sh)/2=s²S=k²S çıqa. Sade çoqköşelikni üst üste kelmegen üçköşeliklerge bölsek, meydanlar cemi aynı çarpanğa saip. Daire içün S=πr² bunı doğrudan körsete: radius s-ge, meydan s²-ge çarpıla.
Köşeler ve uyğun uzunlıq nisbetleri saqlana. Merkezden keçken doğru özüne, merkezden keçmegen doğru parallel doğruğa keçe. Gomotetiya beñzerlikniñ bir türü. Er angi beñzer şekillerni tam uyğunlaştırmaq içün soñundan bir areket kerek ola bile: köçürme, dönüş ya da aks etüv. Beñzerlik tüzlemde yerleştirilgen uyğun töpeler içün bir ortaq gomotetiya merkezini garantiya etmey.
Menfiy koeffitsiyent menfiy meydan bermey
k=−1/2-de tikdörtkoşelik töpeleri (−1/2;−1/2),(−2;−1/2),(−2;−3/2),(−1/2;−3/2) ola. Taraflar 1,5 ve 1, perimetr 5, meydan 1,5. Uzunlıqlar yarı, meydan dörtte bir ola.
Menfiy gomotetiya — |k| musbet miqyaslav ve O etrafında yarım devir. Tüzlemde bu töpelerni aylanıp çıquv yönelişini saqlay, doğruğa köre aks etüv ise tersine çevire. k=−1-de G022-daki merkez simmetriyasını, k=1-de ayniyetni alamız. Ekisi de areket. Başqa |k| qıymetleri mesafeni deñiştire. Transformations ders notları, 4 bölük.
k=0-nı çıqaramız: bütün noqtalar O-ğa toplana, şekil yoq ola ve keri qaytarmaq mümkün olmaz. k≠0-da keri gomotetiyanıñ merkezi aynı, koeffitsiyenti 1/k.
Meydandan uzunlıqqa qaytuv
Beñzer şekil meydanı 9 kere büyük olsa, uzunlıqları √9=3 kere büyük, 9 kere degil. Meydan k işaretini körsetmey: k=3 de, k=−3 de meydanğa 9 çarpanını bere. Gomotetiyanı tapmaq içün uyğun noqtalarnıñ merkezge köre yerleşüvi de kerek.
Tikdörtkoşeligimizniñ ilk meydanı 6, kerek meydanı 24 olsa, s=√(24/6)=2. Bu, ilk 10 perimetriniñ eki qatı 20 ile uyğun. Beñzer cisimler acmı ayrı añlatuv talap ete; kursnıñ feza qısmında oña qaytarmız.
Sızma ve yer — başqa obyektler
Öz misalimiz: 1:250 planda yer 5,6 cm² qaplay. Aqiqiy meydan 5,6·250²=350 000 cm²=35 m². Çarpannı eki kere qullanıp, soñ kvadrat santimetrni kvadrat metrge çeviremiz.
Basma plannıñ eki çizgili ölçüsini aqiqaten eki kere arttırsa, kâğıt meydanı 22,4 cm², miqyas 1:125 ola. 22,4·125² esabı yine 350 000 cm², yani 35 m² bere. Yerniñ özü deñişmedi. Brauzerdeki zum da obyektniñ fizik ölçüsi deñişkenini isbatlamay; kâğıtta ölçemeden evvel aqiqiy basma miqyasını teşkeremiz.
Koordinatalar ileİhtiyariy · keçmek mümkün
k belli olsa merkezni tapmaq
k≠1 ve X(x;y),X′(x′;y′) belli olsa, formulalar a=(x′−kx)/(1−k),b=(y′−ky)/(1−k) bere. X(3;2),X′(4;3),k=2 içün O(2;1) çıqa. Başqa uyğun noqta çiftleri de aynı merkezni bermeli. Bir doğru çift bütün şekilniñ gomotetiyasını isbatlamaq içün yeterli degil. k=1-de merkez formulası çalışmay: ayniyet bir tek merkezni ayırmay.