Kursnıñ qoşma soñki mevzusı. Dereceni tüşürüv, çarpan işaretleri ve kompleks sayılar kerek.
Grafik oqqa toqunıp keri qayta yaki onı kese bilir. Bazan iç kesişüv yoq, amma kompleks tamırlar bar. Tamır sızıqlı çarpanğa uyğun; qatlılıq bu çarpannıñ tekrar sayısını saya. Grafik farqını şu añlata.
Qaldıqtan qatlılıqqa
A014-teki Bezu teoremasına köre:
P(x) = (x − r)Q(x) + P(r), P(r) = 0 ⟺ (x − r)∣P(x).
Tik çiziq «qaldıqsız böle» demek. Bütün m≥1 içün r tamırınıñ qatlılığı m, eger:
P(x) = ((x − r))^(m)G(x), G(r) ≠ 0.
G(r)≠0 şol çarpannıñ başqa kopiyası çıqarılmağanını bildire. Meselâ:
P(x) = ((x − 1))^(2)(x + 2) = (x)^(3) − 3x + 2.
Tamırlar: −2 sade, 1 eki qatlı. Ayrı tamır eki, qatlılıq ile 1+2=3, derecege teñ. Kerçek r yanında üzülmesiz G işaretini saqlay, çünki G(r)≠0. (x−r)^m tek m-de işaret deñiştire, çift m-de saqlay. Demek grafik tek qatlılıqta kesip keçe, çiftte işaret deñiştirmeden toquna. OpenStax
Sade ve eki qatlı tamırlar
P(x)=(x−1)²(x+2)
Kerçek sıfırlar yoq
Q(x)=x²+1; Q(x)≥1
Ekinci x²+1 grafikinıñ kerçek sıfırları yoq, amma kompleks sayılarda:
(x)^(2) + 1 = (x − i)(x + i).
i ve −i kerçek x oqınıñ noqatları degil. Kerçek grafikni daa tafsilâtlı çizmek bu kompleks tamırlarnı onda köstermey.
Eşlenik çiftlerge kerçek koeffitsiyentler kerek
Bütün koeffitsiyentler kerçek olsa, a+bi tamırı ile a−bi de bar. Eşlenik aluv toplama ve çarpımnı saqlay, kerçek koeffitsiyentlerni deñiştirmey; P(a+bi)=0-dan P(a−bi)=0 çıqa. Qatlılıqları da birdey. Kompleks koeffitsiyentlerde bu umumiy qaide degil: z−i-niñ tek i tamırı bar.
Algebranıñ esas teoreması ne bere?
Kompleks koeffitsiyentli, n≥1 dereceli er sabit olmağan çoqa’zalıda qatlılıq esabında tam n kompleks tamır bar. O şöyle çarpanlarğa ayrıla:
P(z) = a_(n)((∏)_(j = 1))^(n)(z − r_(j)), a_(n) ≠ 0, n ≥ 1.
rⱼ tekrarlana ve kerçek ola bilir. Teorema n ayrı yaki n kerçek tamır vade etmey; sıfırdan başqa sabitke ait degil. O barlıqnı, kolay esapnı degil, garantiyley. Tam ifade, NIST DLMF §1.11(ii).
Kub teñlemesi: qısqa usul körünişi
Kerçek koeffitsiyentli kub çoqa’zalınıñ hiç olmağanda bir kerçek tamırı bar: uzaq sol ve sağda işaretler ters, üzülmesiz grafik ters işaretler arasında sıfırdan keçmeli. Bir tamır tapılğanda bölüv sızıqlı çarpannı çıqarıp kvadrat teñleme qaldıra.
Deñiştirme umumiy kubnıñ kvadrat a’zasını yoq ete; p,q çıqqan kerçek koeffitsiyentler:
a(x)^(3) + b(x)^(2) + cx + d = 0, a ≠ 0, x = y − (b)/(3a) ⇒ (y)^(3) + py + q = 0.
Δ≥0 içün Kardano usulınıñ bir adımı aşağıda; kub tamırları mında kerçek, tamır içiniñ işareti ile:
Δ = ((q/2))^(2) + ((p/3))^(3), y = ( − q/2 + √(Δ))^(1/(3)) + ( − q/2 − √(Δ))^(1/(3)) (Δ ≥ 0).
p=−3,q=−2 içün Δ=0 ve formula y=2 bere. Bölüv qalğanını tapa:
(y)^(3) − 3y − 2 = (y − 2)((y + 1))^(2).
Demek 2 sade, −1 eki qatlı. Δ<0-da üç ayrı kerçek tamır bar, amma radikal yol kompleks ara sayılardan keçe; kub tamır dalları uyğunlaştırılmalı. Bu ileriki ögrenüv yoludır, rastgele eki tamırnı ayrı seçüv tarifi degil. Kubnı tüşürüv ve formulalar, NIST DLMF §1.11(iii). NIST diskriminantı D=−108Δ: belgi işaretini teşkeriñiz.
Kurs soñunda er zaman sayı oblastını, mümkün qıymetlerni ve tamır sayuv usulını atañız. Formula, grafik ve cevap o zaman aynı meseleni tasvir ete.
Eki qoşma teşkerüv
a(x−r₁)(x−r₂)(x−r₃)-ni açıp koeffitsiyentlerni qıyaslasaq, tamırlarnı qatlılığınen tekrarlap Viyet formulalarını alamız:
r_(1) + r_(2) + r_(3) = − b/a, r_(1)r_(2) + r_(1)r_(3) + r_(2)r_(3) = c/a, r_(1)r_(2)r_(3) = − d/a.
2,−1,−1 içün summa 0, çift çarpımlar summası −3, çarpım 2; y³−3y−2-ni qaytara. Bu yañıdan çezmeden koeffitsiyent teşkerüvidir.
Türev qaideleri-nden soñ qoşma usul: sıfır olmağan çoqa’zalıda kerçek r-niñ qatlılığı m, eger P ve 1,…,m−1 sıralı türevleri onda sıfır, m sıralı türevi ise sıfırdan başqa olsa. Tekrarlı türev aluv er kere bir x−r çarpanını çıqara. P=x³−3x+2, r=1-de P=0, P′=0, P″=6; demek qatlılıq 2. Bu usul yuqarıdaki çarpan işareti añlatmasına kerek degil.