Küreniñ yuvarlaq kesimi tüzlemniñ merkezge ne qadar yaqın keçkenine bağlı. Kesimni ölçemeden radiusını tapmaq mümkünmi? Radiusı 13 cm, tüzlemge mesafesi 5 cm modelimizde 5–12–13 üçköşeligi cevap bere. Amma evvel yüzni cisimden ayırayıq.
Küre yüzü — sıñır, tolu küre — içi de beraber
Ög şartlar: çember ve daire, Pifagor, tüzlemge normal, fezaviy koordinatalar.
Merkezi C, radiusı R>0 olğan küre yüzü — C-den tam R mesafedeki noqtalar. Tolu küre ise mesafesi R-den büyük olmağan noqtalar, sıñırı da beraber. Merkez tolu kürege ait, yüzüne degil. Bu çember ile tolu daireniñ farqınıñ fezaviy devamıdır.
Yarım daire diametr etrafında aylansa tolu küre, yarımçember yayı aylansa küre yüzü alına. Aqiqiy içi boş qobuqnıñ qalınlığı ve eki yüz arasında materialı bar; matematik küre yüzüniñ qalınlığı yoq. Diametr merkezden keçe, yüzniñ eki noqtasını birleştire ve uzunlığı 2R.
Kesim çemberi qaydan çıqa?
α tüzlemi C-den d mesafede, H ise C-den α-ğa endirilgen perpendikulyar ayağı olsun. Tüzlemdeki er X içün CH⊥HX, demek (CX)²=d²+(HX)². X tek CX=R olğanda küre yüzündedir, yani:
(HX)^(2) = (R)^(2) − (d)^(2).
d<R olsa, böyle X-ler merkezi H, radiusı ρ=√(R²−d²) olğan çember teşkil ete. Eki yön de isbatlandı: er ortaq noqta bu çemberge ait ve er çember noqtası C-den R mesafede. Tolu küre içün CX≤R aynı sıñırlı tolu daire bere.
Kürede çember: R=13, d=5, ρ=12
CHX kesimi: eki katet ve radius
Kesişüv, toqunma, kesişüv yoq
Öz misalimizde R=13 cm, d=5 cm, demek ρ=√(169−25)=12 cm. Kesim çemberiniñ uzunlığı 2πρ=24π cm, tolu daire meydanı πρ²=144π≈452,39 cm². Bu tüz kesim meydanı, bütün küre yüzüniñ ya da qıyışıq yüz parçasınıñ meydanı degil.
d=0-da H=C ve ρ=R: merkezden keçken tüzlem küre yüzüniñ büyük çemberini, tolu küreniñ büyük dairesini bere. Tüz yuvarlaq kesimler arasında onıñ radiusı eñ büyüktir. d artqanda ρ kiçile; bir perspektiv fotodan bu bağlılıqnı ölçemek olmaz.
Toqunma tüzlemi: bir ortaq noqta
Formula başqa allarnı deral bere. d>R-da oñ taraf menfiy: kesişüv yoq. d=R-da HX=0 qala, demek tek H noqtası. Bu kürege toqunma tüzlemi, H ise toqunma noqtasıdır.
Toqunma tüzlemi toqunma noqtasındaki radiusqa perpendikulyar. Tersine, küre yüzündeki T-den keçip CT-ge perpendikulyar tüzlem onı tek T-de kese. Bu tüzlemniñ başqa X noqtası içün (CX)²=(CT)²+(TX)²>R². Demek, küre yüzüniñ er noqtasında bir toqunma tüzlemi bar: T noqtası ve CT normali onı belgiley.
Toqunma ekrandaki konturğa tek «degmek» degil. Fezaviy kriteriy — merkezden R mesafe ya da uyğun radiusqa perpendikulyarlıq.
Koordinatalar qurmanı teşkere
Öz C(1;−2;3) merkezimiz ve R=13 içün küre teñlemesi:
(x − 1)^(2) + (y + 2)^(2) + (z − 3)^(2) = 169.
z=8 tüzlemi merkezden |8−3|=5 mesafede. Qoyuv (x−1)²+(y+2)²=144 bere, z=8 şartınen beraber: merkezi H(1;−2;8) çember. z şartı olmadan x ve y-li teñleme sonsuz silindrik yüzni tarifler edi.
z=16 tüzlemi C-den 13 mesafede, T(1;−2;16)-da toquna. z=19 tüzlemi 16 mesafede ve küreni kesmey. Küre teñlemesinde = yerine ≤ qoymaq başqa küre yüzüni degil, tolu küreni bere. Bir koordinata sistemi em tariflerni, em üç kesişüv alını teşkere.
Qıyışıq yüz meydanı ve kölem başqa formulalar talap ete, olar G034-te. Mında esası — esaplamazdan evvel çember, tolu daire, yüz ya da cisimni tanımaq.
Menbalar ve sıñırlar
Küre yüzü ve tolu küre, üç al ve toqunmanıñ perpendikulyarlığı: Merzlâk ve ortakları, 2019, 21 bölük, s.133–135. Qoşma OpenStax, Calculus Volume3, §2.2 küre yüzüni teñ mesafenen belgiley, teñlemesini çıqara ve z şartı yoqluğı niçün silindr bergenini añlata. 13/5/12 modeli, koordinatalar ve Pifagor delili özümizniki.