Üçköşe parçanı «ortadan» belgilemek kerek. Amma neniñ ortasından: alt kenarnıñ, üst köşeniñ ya da perpendikulâr yüksekliğiniñ mi? Bular üç ayrı talep. Yalnız qoşma şartlarda olar bir doğrunı bereler.
Mediana töpeni qarşı tarafnıñ orta noqtası ile birleştire; yükseklik töpeden qarşı tarafnı taşığan doğruğa perpendikulâr tüşüre; bissektrisa töpedeki köşeni yarılay. Üçköşelik elementleri ve teñlik alâmetleri kerek.
«Orta» yerine üç tam talep
ABC üçköşeliginde kesiklerni A-dan keçiremiz. AM medianası içün evvel BC tarafınıñ orta M noqtasını tapamız. Onıñ belgileyici şartı:
BM = MC.
A-nı M ile birleştiremiz. Doğru köşe şart degil, A köşesiniñ yarılanması da şart degil.
AH yüksekliği içün A-dan BC doğrusına perpendikulâr keçiremiz; H — ayağı. Şart AH⊥BC, BH=HC degil. AL bissektrisası içün A köşesini yarılağan içki şavleni alıp, BC tarafında L noqtasında toqtatamız:
∠BAL = ∠LAC.
Köşeniñ bissektrisası şavle olaraq sıñırsız; üçköşelikniñ bissektrisası dep mında şu kesikni ataymız. Köşelerniñ teñligi BL=LC-ni teminlemey.
Farqlı vazifeler — farqlı kesikler
AM · mediana · tutuş
AH · yükseklik · ştrihli
AL · bissektrisa · noqtalı
AB = AC: A töpesinden bir oq
Tarafnıñ devamına tüşken yükseklik
Birinci sızmada H, L ve M farqlı noqtalardır. Tüsler ve ştrihler kesiklerni ayıralar; ortaq A töpesi olarnı bir doğru yapmay.
Yükseklik taraftan tışqa çıqa bile
Yükseklik içün tarafnı taşığan doğru müim. Küt köşeli üçköşelikte eki yükseklikniñ ayaqları taraflarnıñ devamında yata, demek bu yükseklikler içki bölgeden tışta keçe. Doğru köşeli üçköşelikte eki katet artıq perpendikulâr, onıñ içün er biri ekincisine yükseklik ola bile. Üç yükseklikni zornen içerde sızmaq kerek degil.
Er töpeden mediana, yükseklik ve içki bissektrisa keçirmek mümkün: er türden üç kesik. Çeşit taraflı üçköşelikte olarnıñ bir olğanını faraz etemeymiz.
Teñ yanlı üçköşelikte ne içün bir oq çıqa
AB=AC, M ise BC-niñ ortası olsun. ABM ve ACM üçköşeliklerinde AB=AC, BM=MC, AM ise ortaq. SSS boyunça üçköşelikler teñdir.
Demek, BAM ve MAC köşeleri teñ: AM — bissektrisa. AMB ve AMC de teñ. Olar qoñşu tamamlayıcı köşeler, beraber 180°, demek er biri 90°: AM — yükseklik. Medianadan başlayıp, qalğan eki hususiyetni isbat ettik.
Böylece, teñ taraflar arasındaki töpeden mediana, yükseklik ve bissektrisa bir kesiktir. Onı taşığan doğru simmetriya oqıdır: parçanıñ bir yarısı ekincisi ile ayna olaraq üst-üste kele. Temeldeki köşeler teñ; teñ taraflı üçköşelikte bütün köşeler 60° ve er töpeden böyle oq keçe. Evklid I.5.
Simmetrik belgilev içün evvel AB=AC-ni teşkeremiz, soñ temelni yarılaymız. Yan taraflar teñ olmasa, temelniñ ortası ne perpendikulârnı, ne üst köşeniñ yarılanmasını teminley.
Qoşma faktİhtiyariy · keçip ketmek mümkün
Üç aile — farqlı kesişüv noqtaları
Üç mediana er birini töpeden 2:1 nisbetinde bölgen tsentroidte kesişe. Bu ayrı teoremadır; universitet izaatı onı sızmanıñ körünişi ile degil, beñzerlik ya da koordinatalar ile isbat ete.
Üç yükseklikni taşığan doğrular ortotsentrde, üç içki bissektrisa intsentrde kesişe. Bular da ayrı faktlar; isbatları AMSI materialında bar. İhtiyariy üçköşelikte bu noqtalar bir olmak zorunda degil. Teñ taraflı üçköşelikte simmetriya sebebinden bir olalar. Yuqarıdaki esas izaat bu faktlarnı talap etmey.