Queremos marcar una pieza triangular «por la mitad». ¿La mitad de qué: del borde inferior, del ángulo superior o de la altura perpendicular? Son tres condiciones diferentes. Solo dan una misma línea bajo condiciones adicionales.
La mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto; la altura es la perpendicular desde el vértice a la recta del lado opuesto; la bisectriz divide en dos partes iguales el ángulo del vértice. Se necesitan los elementos del triángulo y los criterios de congruencia.
Tres condiciones precisas
En el triángulo ABC trazamos segmentos desde A. Para la mediana AM, hallamos primero el punto medio M de BC. Su condición definitoria es:
BM = MC.
Unimos A con M. No exige ángulo recto ni divide necesariamente el ángulo A por la mitad.
Para la altura AH, trazamos por A la perpendicular a la recta BC; H es su pie. La condición es AH⊥BC, no BH=HC. Para la bisectriz AL, tomamos la semirrecta interior que divide el ángulo A en dos iguales y la detenemos en el lado BC, en L:
∠BAL = ∠LAC.
La bisectriz de un ángulo como semirrecta es ilimitada; aquí llamamos bisectriz del triángulo a ese segmento. La igualdad de ángulos no garantiza BL=LC.
Distintas tareas, distintos segmentos
AM · mediana · continua
AH · altura · discontinua
AL · bisectriz · punteada
AB = AC: un eje desde A
Una altura sobre la prolongación
En el primer esquema H, L y M son puntos distintos. Los colores y patrones de línea identifican los segmentos; compartir el vértice A no los convierte en la misma recta.
Una altura puede quedar fuera del lado
Para la altura importa la recta que contiene el lado. En un triángulo obtusángulo, dos pies de las alturas están en las prolongaciones de los lados, por lo que esas alturas pasan fuera del interior. En uno rectángulo, los dos catetos ya son perpendiculares y cada uno sirve como altura respecto al otro. No debemos forzar las tres alturas al interior.
Desde cada vértice se puede trazar una mediana, una altura y una bisectriz interior: tres segmentos de cada tipo. En un triángulo escaleno no podemos suponer su coincidencia.
Por qué el isósceles tiene un eje desde su vértice superior
Sean AB=AC y M el punto medio de BC. En ABM y ACM se cumplen AB=AC, BM=MC y AM común. Por LLL, los triángulos son congruentes.
Los ángulos BAM y MAC son iguales: AM es bisectriz. AMB y AMC también son iguales. Forman un par lineal que suma 180°, así que cada uno mide 90°: AM es altura. Partimos de la mediana y demostramos las otras dos propiedades.
Por tanto, desde el vértice entre los lados iguales, coinciden mediana, altura y bisectriz. Su recta es un eje de simetría: una mitad de la pieza se refleja sobre la otra. Los ángulos de la base son iguales; en el equilátero todos miden 60° y hay un eje desde cada vértice. Euclides I.5.
Para una marca simétrica, primero comprobamos AB=AC y después dividimos la base por la mitad. Sin lados laterales iguales, el punto medio de la base no garantiza ni la perpendicular ni la división del ángulo superior.
Dato adicionalOpcional · puedes omitirlo
Tres familias, distintos puntos de intersección
Las tres medianas se cortan en el baricentro, que divide cada una en razón 2:1 desde el vértice. Es un teorema aparte; la explicación universitaria lo demuestra mediante semejanza o coordenadas, no por el aspecto de un dibujo.
Las rectas de las tres alturas se cortan en el ortocentro, y las tres bisectrices interiores en el incentro. Son también hechos independientes, demostrados en el material de AMSI. En un triángulo general estos puntos no tienen por qué coincidir. En el equilátero coinciden por su simetría. La explicación principal anterior no necesita estos hechos.