En un plano necesitamos trazar una segunda línea paralela a la primera y marcar la distancia más corta desde un borde hasta un punto. Parecer «casi recto» no establece direcciones ni distancias. Nos ayudarán los ángulos de la lección anterior.
Dos rectas distintas de un mismo plano son paralelas si no se cortan; son perpendiculares si se cortan formando un ángulo recto. La distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular a ella. Compartir un plano euclídeo es una condición esencial.
No cortarse en el papel no basta
Las rectas son ilimitadas. Dos segmentos cortos pueden no tener puntos comunes aunque las rectas que los contienen se encuentren fuera del dibujo. La notación a∥b se refiere al paralelismo de las rectas. En el espacio también hay rectas sin puntos comunes que no son coplanarias; no les aplicamos estas reglas planas.
Tracemos una tercera recta c que corte a y b en puntos distintos. Es una transversal. Forma cuatro ángulos en cada intersección. Los nombres de las parejas describen posiciones y tienen sentido antes de comprobar el paralelismo.
Una transversal y ocho ángulos
Dos perpendiculares a c
Camino recto y camino quebrado
En nuestro esquema, ∠1 y ∠5 son correspondientes: ocupan posiciones equivalentes en las dos intersecciones. ∠3 y ∠5 son alternos internos: están entre a y b y a distintos lados de la transversal. ∠4 y ∠5 son interiores del mismo lado: entre las rectas y al mismo lado de la transversal.
Un criterio y una propiedad funcionan en sentidos opuestos
Un criterio permite establecer el paralelismo. Si los ángulos correspondientes son iguales, las rectas son paralelas. También basta la igualdad de los alternos internos o una suma de 180° para los interiores del mismo lado. Son tres maneras de comprobar la misma relación geométrica. Euclides I.28.
Por ejemplo, se dan ∠1=60° y ∠5=60°. Son correspondientes, por lo que a∥b. No sirven dos ángulos iguales cualesquiera: los opuestos por el vértice en una sola intersección siempre son iguales y no informan sobre la segunda recta.
Una propiedad parte del paralelismo conocido y permite deducir ángulos. Si a∥b y ∠1=60°, entonces ∠5=60°, ∠3=60° y ∠4=120°. Así:
∠4 + ∠5 = 120° + 60° = 180°.
Pasar del criterio a la propiedad invierte el sentido de la implicación y también exige justificación. En un plano euclídeo ambos sentidos son correctos. Euclides I.29.
La escuadra establece la perpendicular
a⊥c significa que las rectas forman un ángulo recto. Los cuatro ángulos de la intersección miden entonces 90°: su vecino del par lineal completa 90° hasta 180°, y el opuesto por el vértice es igual.
Dos rectas distintas de un mismo plano, perpendiculares a la misma recta c, son paralelas: sus ángulos correspondientes con c miden 90°. Por eso podemos apoyar dos veces una escuadra sobre un mismo borde guía para obtener marcas paralelas. Es un principio geométrico; la precisión real también depende del instrumento y del trabajo.
Por qué un segmento oblicuo sobrestima la distancia
Sea P exterior a a, PH⊥a y H un punto de a. H es el pie de la perpendicular; la longitud PH es la distancia a la recta. Para un punto de la propia recta la distancia es cero. Perpendicular desde un punto, Euclides I.12.
Tomemos otro punto Q de a. ¿Por qué PQ es más largo? Imaginemos doblar el papel por a: el punto reflejado P′ queda frente a P, y H es el punto medio de PP′. Al superponer no cambia la longitud, por lo que PQ=P′Q. El camino recto PP′ es más corto que el quebrado P–Q–P′ cuando Q≠H. Por tanto, 2PH es menor que 2PQ, y PH es menor que PQ. Este razonamiento usa el principio del camino recto más corto, sin medir el dibujo. Euclides I.20.
La distancia a una recta no siempre coincide con la distancia al segmento dibujado: el pie de la perpendicular puede quedar fuera de sus extremos. Antes de medir, identifiquemos el objeto al que se refiere la distancia y elijamos después la dirección.