Para cubrir una cara inclinada de una caperuza piramidal necesitamos la altura del triángulo sobre la superficie. Si usamos la altura vertical de toda la figura, faltará material. Construyamos una pirámide cuadrada y distingamos altura, apotema y arista lateral.
Un vértice fuera del plano de la base
Requisitos: área de polígonos, normales a un plano, secciones, prismas y desarrollos.
Tomamos un polígono plano convexo y P fuera de su plano. Al unir P con sus vértices obtenemos una pirámide: el polígono es la base y los triángulos con vértice común P son caras laterales. Una pirámide n-gonal tiene n+1 caras, n+1 vértices y 2n aristas: n de base y n laterales. Una pirámide triangular es un tetraedro; eso no significa por sí solo que todas las aristas sean iguales.
La altura h es la longitud de la perpendicular PH de P al plano de la base. En una pirámide general H puede quedar fuera del polígono. No es una arista lateral ni la altura de una cara triangular.
Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y H es su centro. Entonces las aristas laterales son iguales y las caras son triángulos isósceles congruentes: las distancias iguales del centro a los vértices dan aristas iguales por Pitágoras y después congruencia de triángulos por tres lados.
Tres segmentos en un modelo
Definamos el cuadrado ABCD de lado 8 cm, centro H y vértice P situado PH=3 cm sobre H. Sea M el punto medio de AB. En una pirámide regular, la altura PM de la cara PAB es la apotema l. Es perpendicular a AB y está en la cara lateral. Todas las apotemas de una pirámide regular son iguales.
Altura h, apotema l, arista b
Sección PHM a escala real
Corte paralelo: t=1/2
En el cuadrado HM=4 cm y HA=4√2 cm. PHM y PHA son rectángulos en H, por lo que:
l = √((3)^(2) + (4)^(2)) = 5 cm.
La arista lateral PA=√(3²+(4√2)²)=√41≈6,40 cm. Así h=3, l=5 y PA≈6,40 cm son magnitudes distintas. Dentro de la cara PAB comprobamos PA²=PM²+MA²=25+16=41: ambos caminos coinciden.
En general, l²=h²+r² en una pirámide regular, siendo r el inradio de la base. Para una arista lateral se usa el circunradio R: b²=h²+R². Decir solo «radio de la base» resulta ambiguo.
Una pirámide triangular regular tiene base equilátera y vértice sobre su centro, pero las aristas laterales no tienen por qué igualar a las de la base. Solo cuando las seis aristas son iguales obtenemos un tetraedro regular, con caras triangulares equiláteras.
Área: triángulos más la base
Una cara lateral de nuestra pirámide tiene área 8·5/2=20 cm². Las cuatro suman 80 cm². Para una pirámide regular de perímetro de base Pbase:
S_(lat) = (P_(base) l)/(2).
Sumamos aᵢl/2 para todos los lados y sacamos la apotema común como factor. El área total añade una base: 80+8²=144 cm². Un prisma tenía dos; trasladar esa costumbre a la pirámide añadiría área de más.
Una caperuza sin fondo necesita solo 80 cm² de área lateral en el modelo sin grosor. Costuras, solapas y desperdicios no están definidos. En una pirámide general calculamos cada cara con su propia altura lᵢ, sumando aᵢlᵢ/2. No sustituimos l por h ni suponemos apotema común sin regularidad o una demostración aparte de alturas iguales.
Las secciones cambian la escala
Un plano por P y una diagonal de la base da una sección diagonal triangular. Un plano paralelo a la base entre esta y P da un polígono semejante a la base. Si su distancia a P es la fracción t de la altura total, 0<t<1, las longitudes se multiplican por t y el área por t². Se deduce de triángulos semejantes en planos por aristas laterales.
A mitad de altura desde el vértice, la sección es un cuadrado de lado 4 cm y área 16 cm²: la cuarta parte de 64 cm², no la mitad. Un prisma tendría la misma sección a cualquier altura; la pirámide se estrecha.
Cálculo opcionalLa pirámide original y su área ya se explicaron arriba.
Rama · Tronco de pirámide regular
Retiremos la pequeña pirámide superior tras el corte paralelo t=1/2. El resto tiene bases de lados 8 y 4 cm, altura vertical 1,5 cm y apotema s=5−2,5=2,5 cm. Sus caras laterales son trapecios isósceles congruentes. El área lateral pequeña sería t²·80=20 cm², de modo que quedan 80−20=60 cm².
La fórmula general Sfrustum=(Pbig+Psmall)s/2 también se deduce algebraicamente: restamos (tP)(tl)/2 de Pl/2 y obtenemos P(1+t)·l(1−t)/2. Es la media de perímetros por la apotema del tronco. Aquí (32+16)·2,5/2=60; sumando bases 64+16 obtenemos área total 140 cm². Requiere una pirámide original regular y un corte paralelo; no se cumplen automáticamente en cualquier forma truncada.
Fuentes y límites
Definiciones de altura, pirámide regular, apotema y suma de áreas: Merzliak y coautores, 2019, apartado 18, pp.109–112. Además, AMSI, Cones, Pyramids and Spheres explica la altura de cara mediante Pitágoras y la suma de áreas. El cuadrado de 8 cm, altura 3 cm, corte y esquemas son propios; no son mediciones de una pirámide histórica. El volumen corresponde a G034.